Beweis bzgl. der symmetrischen Differenz von Mengen

25.08.2009, 18:12

Räuber Hotzenplotz

Beweis bzgl. der symmetrischen Differenz von Mengen

Hi,

ich hab hier eine eig. recht einfache Beweisaufgabe, da ich aber net ganz sicher bin, ob ich die richtig gelöst habe, wollte ich euch mal um Rat fragen ... naja, seht selbst.

Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} A \Delta B = A \Delta C \Rightarrow B = C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \Delta B = A \Delta C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ( \forall x \in A \Delta B : x \in A \oplus x \in B ) \land ( \forall x \in A \Delta C : x \in A \oplus x \in C ) \end{eqnarray*}$

Falls $\begin{eqnarray*} x \in A \Rightarrow x \notin B \land x \notin C \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} x \in B \Rightarrow x \notin A \Rightarrow x \in C \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} x \in C \Rightarrow x \notin A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$ .

Damit ist gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} x \in B \Leftrightarrow x \in C \end{eqnarray*}$ und deshalb $\begin{eqnarray*} \Rightarrow B = C \end{eqnarray*}$ .

Müsste so hinhauen, oder? verwirrt

25.08.2009, 19:41

jester.

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Wofür soll denn hier $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ stehen?

25.08.2009, 19:48

Räuber Hotzenplotz

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@jester

Für das sich auschliessende Oder ("entweder ... oder"). Hab das passende LaTeX Zeichen net finden können.

25.08.2009, 20:24

jester.

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Ach so, das kenne ich als $\begin{eqnarray*} \dot{\vee} \end{eqnarray*}$ . Das muss man sich in Latex basteln als \dot{\vee}.

Der Beweis sieht gut aus.

25.08.2009, 20:44

Räuber Hotzenplotz

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Ja genau das hatte ich gesucht.

Danke, dass du mal kurz drüber geschaut hast.

25.08.2009, 22:08

WebFritzi

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RE: Beweis bzgl. der symmetrischen Differenz von Mengen
Ich sehe das ganz anders. Dein "Beweis" ist IMHO keiner.

Zitat:

Original von Räuber Hotzenplotz
$\begin{eqnarray*} A \Delta B = A \Delta C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ( \forall x \in A \Delta B : x \in A \oplus x \in B ) \land ( \forall x \in A \Delta C : x \in A \oplus x \in C ) \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite dieser Implikation ist eine Tautologie. Die Implikation ist somit unbrauchbar.

Zitat:

Original von Räuber Hotzenplotz
Falls $\begin{eqnarray*} x \in B \Rightarrow x \notin A \end{eqnarray*}$ .

Wieso sollte das gelten?

26.08.2009, 00:19

Räuber Hotzenplotz

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Stimmt, das war wohl nix.

Bin grad am überlegen, wie man das jetzt "richtig" beweisen, mir gehen aber so langsam die Ideen aus. Vllt. bekomm ich ja bis morgen was Brauchbares hin.

Falls jemand von euch das schonmal bewiesen hat bzw. den Beweis kennt, wäre es vllt ganz gut, wenn man mir einen Ansatz geben könnte (z.B. ob man hier am Besten direkt oder durch Widerspruch zum Erfolg kommt, etc) ...

26.08.2009, 00:38

WebFritzi

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Es reicht, $\begin{eqnarray*} B\subset C \end{eqnarray*}$ zu beweisen. Die andere Inklusion folgt dann durch Vertauschung der Rollen von B und C. Sei also $\begin{eqnarray*} x\in B. \end{eqnarray*}$ Unterscheide nun die Fälle $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\notin A. \end{eqnarray*}$ Ich mache mal den etwas leichteren für dich.

Sei $\begin{eqnarray*} x\notin A. \end{eqnarray*}$ Dann ist auch $\begin{eqnarray*} x\notin A\cap B. \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x\in A\Delta B, \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x\in A\Delta C, \end{eqnarray*}$ was $\begin{eqnarray*} x\in A\cup C \end{eqnarray*}$ zur Folge hat. Schließlich folgt $\begin{eqnarray*} x\in C, \end{eqnarray*}$ da wir $\begin{eqnarray*} x\notin A \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt hatten.

Und jetzt mach du den Fall $\begin{eqnarray*} x\in A. \end{eqnarray*}$

26.08.2009, 02:11

Räuber Hotzenplotz

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Okei, dann mal los.

Es sei also $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} x \in A \cap B \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} A \Delta B \nsupseteq A \cap B \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x \notin A \Delta B \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x \notin A \Delta C \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ vorrausgesetzt wurde, ist $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ . Wäre $\begin{eqnarray*} x \notin C \end{eqnarray*}$ , so würde das einen Widerspruch erzeugen ( $\begin{eqnarray*} x \in A \Delta C \neq A \Delta B \end{eqnarray*}$ ).

Nun ist also gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} B \subset C \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann ich noch lehrbuchmäßig schreiben, dass man für $\begin{eqnarray*} B \supset C \end{eqnarray*}$ analog argumentieren muss.

Schließlich folgt dann aus $\begin{eqnarray*} B \subset C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \supset C \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} B = C \end{eqnarray*}$ .

Ob ich da darauf mal gekommen wäre, weiß ich net aber wenigstens hab ich den Beweis verstanden im Nachhinein. Danke @WebFritzi

26.08.2009, 02:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von Räuber Hotzenplotz
also $\begin{eqnarray*} x \notin A \Delta C \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ vorrausgesetzt wurde, ist $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$

Da würde ich Punkte abziehen. Der letzte Schritt ist mir zu schnell.

26.08.2009, 08:48

jester.

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Ich hatte die Idee von Räuber Hotzenplotz, einzeln die Fälle $\begin{eqnarray*} x\in A,~ x\in B,~x\in C \end{eqnarray*}$ zu berachten, eigentlich für ganz sinnvoll gehalten. Aber WebFritzis Idee erscheint jetzt schon etwas sinnvoller.

26.08.2009, 12:55

Räuber Hotzenplotz

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Da würde ich Punkte abziehen. Der letzte Schritt ist mir zu schnell.

Ich schreibs mal so:

$\begin{eqnarray*} x \notin A \Delta C \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x \in A \cup C \end{eqnarray*}$ . Da ja aber $\begin{eqnarray*} x \notin A \Delta C \end{eqnarray*}$ ist, muss auch $\begin{eqnarray*} x \in A \cap C \end{eqnarray*}$ sein und somit ist $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ .

26.08.2009, 13:17

WebFritzi

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