Integration

27.08.2009, 11:50

FrankyHill

Integration

Hallo habe folgende Aufgabe gegeben.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{e^{x}}{1+9e^{2x}} ~dx \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich an so eine Aufgabe ran. Löse ich die mit der Substitutionsregel ? Wenn ja woher weiß ich was ein geeignetes Substitut ist??

Danke

27.08.2009, 11:56

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Es ist $\begin{eqnarray*} e^{2x} = (e^x)^2 \end{eqnarray*}$ , damit liegt auf der Hand, dass bei einer Substitution $\begin{eqnarray*} u=e^x \end{eqnarray*}$ der Integrand zu einer gebrochen rationalen Funktion in $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ transformiert wird, welche man bekanntlich vollständig im Griff hat.

Mit einem erfahreneren Auge sieht man dann auch noch, dass man besser gleich $\begin{eqnarray*} u=3e^x \end{eqnarray*}$ nimmt. Augenzwinkern

27.08.2009, 12:05

FrankyHill

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So richtig komme ich da trotzdem nicht weiter

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{u} }{1+9(u)^{2} } *\frac{du}{e^{x}} \end{eqnarray*}$

Habe du/dx oder wird es in dem Fall dx/du???

27.08.2009, 12:07

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Drei Fragen:

1. Wie kommt die Wurzel in den Zähler?

2. Was ist $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ?

3. Warum steht da noch ein x im Integrand - bei der Substitution hat jedes Vorkommen von x zu verschwinden!!!

27.08.2009, 12:16

FrankyHill

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Du hattest ja zuerst geschrieben das $\begin{eqnarray*} (e^{x})^{2} = u \end{eqnarray*}$
Also dachte ich das $\begin{eqnarray*} e^{x} =\sqrt{u} \end{eqnarray*}$
sein muss.

t hab ich verändert war nen versehen.

Warum das x da steht? $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} =e^{x} \Rightarrow dx=\frac{du}{e^{x}} \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 12:17

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Zitat:

Original von FrankyHill
Du hattest ja zuerst geschrieben das $\begin{eqnarray*} (e^{x})^{2} = u \end{eqnarray*}$

Nein, das habe ich nirgendwo geschrieben. unglücklich

27.08.2009, 12:19

FrankyHill

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Stimmt, also heißt es im Zähler dann $\begin{eqnarray*} u^{2} \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 12:24

Eva-S

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$\begin{eqnarray*} u=e^x \Rightarrow \frac{du}{dx} = e^x \Rightarrow dx= \frac{du}{e^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{e^x}{1+9(e^x)^2} ~dx = \int_{}^{}~\frac{u}{1+9u^2} ~\frac{du}{e^x} \end{eqnarray*}$

Bis hierher bin ich eben gekommen und komme jetzt an der Stelle leider nicht weiter.
Ist das richtig bisher?

27.08.2009, 12:25

FrankyHill

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Versuche es mal erneut mit $\begin{eqnarray*} u=3e^{x} \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 12:25

Rare676

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Dann substiuier doch endlich mal zu Ende...
Es ist u=e^x !

27.08.2009, 12:29

FrankyHill

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Mit $\begin{eqnarray*} u=3e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{u}{3(1+(3u)^2}*\frac{du}{u} \end{eqnarray*}$

So vielleicht???

Sieht nach ner arctan Funktion aus!

27.08.2009, 12:38

FrankyHill

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int_{}^{}~ \frac{1}{1+3(u)^2} ~du \end{eqnarray*}$

Wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} arctan3(3e^x)+C \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 12:43

Eva-S

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Wenn ich mit
$\begin{eqnarray*} u=3e^{x} \end{eqnarray*}$

substituiere, dann "lande" ich bei

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{u}{3(1+u^2)}*\frac{du}{3e^x} \end{eqnarray*}$

Ups

27.08.2009, 12:56

Eva-S

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Zitat:

Original von Rare676
Dann substiuier doch endlich mal zu Ende...
Es ist u=e^x !

Ich komme ja (siehe oben) leider nicht weiter.
Bei den Aufgabe die ich bisher immer hatte, konnte ich das was ich anstelle von dx hinschrieb immer gegen irgendwas kürzen, was hier durch du/e^x ja leider nicht der Fall ist, da ich im Zähler ja kein e^x mehr stehen hab, welches ich kürzen könnte!?!?

27.08.2009, 13:01

FrankyHill

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Weiß net genau obs richtig ist , aber du hast ja $\begin{eqnarray*} \frac{du}{3e^x} \end{eqnarray*}$ geschrieben. Daraus kannst du weil wir ja vorher gesagt haben das $\begin{eqnarray*} u=3e^x \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \frac{du}{u} \end{eqnarray*}$ formen. Das lässt sich mit dem Zähler kürzen so das wir eine Stammfunktion für den arcustangens bekommen.

27.08.2009, 13:06

Eva-S

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Zitat:

Original von FrankyHill
Daraus kannst du weil wir ja vorher gesagt haben das $\begin{eqnarray*} u=3e^x \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \frac{du}{u} \end{eqnarray*}$ formen.

Keine Ahnung, darf man das?

27.08.2009, 13:08

FrankyHill

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Denk schon da wir ja alle x substituieren wollen. Ist den wer Anwesend der weiß wie es funktioniert.

27.08.2009, 13:36

klarsoweit

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RE: Integration
Meine Güte, was ein Chaos.

Erstmal umformen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{e^x}{1+9e^{2x}}~dx = \frac 1 3 \cdot \int_{}^{}~\frac{1}{1+(3e^x)^2} \cdot 3 e^x~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt $\begin{eqnarray*} u = 3e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} du = 3e^x~dx \end{eqnarray*}$ substituieren führt zu:

$\begin{eqnarray*} ... = \frac 1 3 \cdot \int_{}^{}~\frac{1}{1+u^2} \cdot ~du \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 13:50

Eva-S

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RE: Integration
@klarsoweit

der Teil vor Deinem Endergebnis wird von Dir also so umgeformt?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int_{}^{}~\frac{u}{1+u^2}~ \frac{du}{3e^2} = \frac{1}{3} \int_{}^{}~\frac{u}{1+u^2}~ \frac{du}{u} = \frac{1}{3} \int_{}^{}~\frac{1}{1+u^2}~du \end{eqnarray*}$

Das war ja das was uns am Ende Schwierigkeiten bereitet hat!

27.08.2009, 13:57

klarsoweit

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RE: Integration
Verstehe jetzt deine Frage nicht. Aus dem letzten Integral in meiner ersten Zeile wird durch die Substitution das Integral in der letzten Zeile. Da gibt es keine weiteren Zwischenschritte.

27.08.2009, 14:54

FrankyHill

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Hab da nochmal ne Frage zu. Wenn ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int_{}^{}~\frac{1}{1+(3e^x)^2} ~dx \end{eqnarray*}$ da stehen habe. Warum wird im Nenner die 1 vor dem + nicht auch mit 1/3 mal genommen?

Hoffe das ist verständlich was ich meine.

27.08.2009, 14:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von FrankyHill
Warum wird im Nenner die 1 vor dem + nicht auch mit 1/3 mal genommen?

Die Umformung hat mit dem Nenner nichts zu tun. Nochmal ausführlich. Es ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{e^x}{1+(3e^x)^2}~dx = \int_{}^{}~\frac{\frac 1 3 \cdot 3e^x}{1+(3e^x)^2}~dx = \frac 1 3 \cdot \int_{}^{}~\frac{3e^x}{1+(3e^x)^2}~dx \end{eqnarray*}$

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