Die Möndchen des Hippokrates

27.08.2009, 15:55

DemiAndSel

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Die Möndchen des Hippokrates

Hallo

Wink

...bin neu im Forum und hoffe ihr könnt mir helfen, also ich bin jetzt neu in S1 und wir haben das Thema Integralrechnung usw.
Hab heute eine wahrscheinlich ganz banale Aufgabe bekommen aber bekomm sie nicht gelöst...vorallem weils ohne Zahlen und nur mit Variablen ist.
Hab mir schon ein paar ähnliche Aufgaben die hier schon gelöst wurden angeschaut aber da ist irgendwie immer die Rede von mehreren Kreisen , überlappen usw nur hier ist nur ein Halbkreis verwirrt

verwirrt

Ne kurze Erklärung zur Lösung wär nett damit ich nicht immer wieder nerven muss Big Laugh

Big Laugh

Hab die Zeichnung mit Paint gemacht (lach) also das Schwarze soll so ein Möndchen sein und das Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig, hoffentlich zu erkennen^^Und da ist noch ein Punkt M weiß auch nicht warum
Danke schon im vorraus

27.08.2009, 16:05

sulo

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RE: Die Möndchen des Hippokrates (leichte Aufgabe!)
Also, wir helfen dir gerne, dass DU die Lösung findest.
Und die Erklärung wirst du auch (mit unserer Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

) alleine finden .... smile

smile

Nun, was sind deine Überlegungen zur Aufgabe?

27.08.2009, 16:32

DemiAndSel

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also meine aufgabe ist ja zu zeigen dass das möndchen da inhaltsgleich mit dem dreieck ist.....alsoo muss ich wahrscheinlich erstmal wissen wie man den flächeninhalt von dem möndchen errechnet und da hilft mir wahrscheinlich das kleine weiße stück da ( ist das ein viertelkreis? verwirrt

verwirrt

)

27.08.2009, 16:38

Mistmatz

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Schau mal hier, was Wiki dazu sagt: Möndchen des Hippokrates

Edit: Die Erklärung ist jetzt zwar nicht die Beste geschockt

geschockt

, dafür hast du hier ein richtiges Bild deiner Aufgabe. Du hast nämlich einen Mond vergessen...

27.08.2009, 16:39

sulo

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Ja, du musst mit dem Viertelkreis arbeiten.... Freude

Freude

Weiterhin musst du den Halbkreis und das halbe Dreieck verwenden.
Von allen Flächen brauchst du den Flächeninhalt.

Das sollte nicht zu schwer sein, denn, wie du selbst im Titel geschrieben hast: es ist eine leichte Aufgabe.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2009, 16:51

DemiAndSel

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@ Mistmatz: ich hab doch nur einen halbkreis?:S oder sollt ich das mit dem Satz des Pythagoras usw daraus entnehmen?

@sulo
Also die Formel für den Halbkreis ist ja Pi x r²....wenn ich mich nicht täusche ist das r vom halbkreis hier entweder die Strecke MA oder MC richtig? verwirrt

verwirrt

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27.08.2009, 16:53

Mistmatz

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Achso, ich dachte jetzt, du hättest die Aufgabe hier nicht vollständig gestellt... geschockt

geschockt

Sry

27.08.2009, 17:00

sulo

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Wir sollten klarstellen, wo der Halbkreis und der Viertelkreis liegen.

Zunächst: Es gilt: Die Strecke AB = Strecke BC , nennen wir sie a.
Dieses a ist der Radius des Viertelkreises, der den Mittelpunkt B hat.
Die Fläche des VK ist ein Viertel einer Kreisfläche.

Weiterhin hat der Halbkreis den Mittelpunkt M (dazu war der da ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
Seinen Radius (also die Strecke MA bzw. MC, wie du richtig erkannt hast) musst du berechnen (mit Hilfe des Dreiecks und dem guten alten Pythagoras).
Die Fläche des HK ist die Hälfte einer Kreisfläche.

27.08.2009, 17:16

DemiAndSel

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also ist der Radius des Viertelkreises Strecke AB + Strecke BC beide Seiten? sonst versteh ich nicht wie B der Mittelpunkt sein soll
und MA soll ich wahrscheinlich mit den Variablen ausrechnen oder?
ich weiß ich bin schwierig, mathe ist mein schlechtestes fach....zum glück MUSS man sich nicht mehr in mathe prüfen lassen beim abi Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2009, 17:23

sulo

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Zitat:

Original von DemiAndSel
also ist der Radius des Viertelkreises Strecke AB + Strecke BC beide Seiten? sonst versteh ich nicht wie B der Mittelpunkt sein soll

Ja, die Strecken AB und BC sind die Seiten des Viertelkreises. Freude

Freude

Darüber spannt sich der Viertelkreis, also die innere Linie deiner schwarzen Mondsichel.
Der Mittelpunkt dieses Kreises (von dem wir ein Viertel sehen, ist B).

Zitat:

Original von DemiAndSel
und MA soll ich wahrscheinlich mit den Variablen ausrechnen oder?

Mit a, um genau zu sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sinnvollerweise solltest du alle Flächen mit Hilfe von a ausdrücken. smile

smile

27.08.2009, 17:48

DemiAndSel

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hm

verwirrt

also pythagoras wär ja a² = Strecke AC (b) ² und davon die hälfte MA bzw MC also das gleiche wie a? :S

27.08.2009, 17:58

sulo

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Also bei dem Pyth. kann ich dir nicht folgen... verwirrt

verwirrt

Tipp1: der gesuchte Radius ist die halbe Hypotenusenlänge.
Tipp2: die Katheten haben beide die Länge a

27.08.2009, 18:03

DemiAndSel

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die beiden Katheten (nenn jetzt mal beide a) a x a = Hyotenuse (a²) die hälfte davon : a oder mach ichs mir zu einfach? verwirrt

verwirrt

27.08.2009, 18:12

sulo

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Pythagoras:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate.
In der Regel heißt das: a^2 + b^2 = c^2

In unserem Fall gilt: a = b; ==> also: 2a^2 = c^2

Wie groß ist nun c?
Und wie groß ist ein halbes c? Das ist der gesuchte Radius.

27.08.2009, 18:17

DemiAndSel

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2a^2 = c^2 / durch 2
2a = c
a = halbes c

27.08.2009, 18:27

sulo

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Zitat:

Original von DemiAndSel
2a^2 = c^2 / durch 2
2a = c
a = halbes c

unglücklich

2a^2 = c^2 / durch 2 ==> ergibt: a^2 = 0,5 c^2 ....

Statt zu teilen musst du Wurzel ziehen. Das ist Stoff der 9. Klasse ....

$\begin{eqnarray*} c^2 = 2a^2 ~~~ | \sqrt{ } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = a \sqrt{2 } \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 18:38

DemiAndSel

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stimmt

traurig

halbes c ist dann 1/2 a wurzel 2
also Fläche HK = Pi x 1/2a Wurzel 2 ²

27.08.2009, 18:47

sulo

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Es ist ein HALBkreis ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Außerdem ist es an der Zeit, den Formeleditor zu benutzen ....

27.08.2009, 18:58

DemiAndSel

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Fläche HK = $\begin{eqnarray*} \pi \cdot 1/4a \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 19:05

sulo

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Hmm, fast....

$\begin{eqnarray*} A_{HK}= \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot( \frac{1}{2} \cdot a \cdot\sqrt{2})^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das ausrechne, komme ich auf etwas anderes als du...

27.08.2009, 19:10

DemiAndSel

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \frac{1}{4} a^{2} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
so müsste das ausgeklammert aussehen? ist wohl doch so einiges weg nach den ferien, nu kann ich noch weniger als ohnehin schon... Finger2

Finger2

27.08.2009, 19:16

sulo

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2} )^2 \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2009, 19:23

DemiAndSel

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ups haha....2

27.08.2009, 19:26

sulo

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... und demnach der Flächeninhalt des Halbkreises?

27.08.2009, 19:32

DemiAndSel

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die formel wie da oben nur statt wurzel 2 hoch 2 halt 2...
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \pi \cdot \frac{1}{2} a^{2} \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 19:36

sulo

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Gut.

Freude

Zusammengefasst also: $\begin{eqnarray*} A_{HK}= \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot a^2 \end{eqnarray*}$

So, jetzt die Fläche für den Viertelkreis. Hast du einen Vorschlag?

27.08.2009, 19:45

DemiAndSel

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also erstmal zur formel...ist denk ich mal die gleiche nur nicht mit 1/2 sondern 1/4
und sonst naja.....a ist der radius wie du gesagt hast
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \pi \cdot a^{2} \end{eqnarray*}$
ok ich merk grad das wär das gleiche wie HK also falsch

27.08.2009, 19:51

sulo

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Zitat:

Original von DemiAndSel

ok ich merk grad das wär das gleiche wie HK also falsch

Hmm, da ziehst du eine dumme Schlussfolgerung. Warum sollte es falsch sein, du hast es doch vernünftig berechnet .... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mit anderen Worten:

$\begin{eqnarray*} A_{VK}= \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot a^2 \end{eqnarray*}$ stimmt Freude

Freude

27.08.2009, 19:59

DemiAndSel

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ja

Hammer

so nu haben wir die Fläche vom HK und vom VK.....wie zeig ich jetzt dass das Möndchen = Dreieck ist? bestimmt noch irgendwas mit dem Dreieck machen^^

27.08.2009, 20:01

sulo

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Ja, mit dem halben Dreieck, genauer gesagt mit dem Dreick ABC.
Wie groß ist seine Fläche?

27.08.2009, 20:10

DemiAndSel

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also der rechte Winkel ist ja bei B also $\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot c }{2} \end{eqnarray*}$ ? habs nicht so ohne zahlen

27.08.2009, 20:14

sulo

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Der rechte Winkel war bei B, richtig.
Somit kannst du den Flächeninhalt ganz einfach mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \end{eqnarray*}$ darstellen, weil das eine a die Grundseite, das andere a die Höhe ist.

Somit als 3. Fläche: $\begin{eqnarray*} A_D =\frac{1}{2} \cdot a^2 \end{eqnarray*}$

27.08.2009, 20:21

DemiAndSel

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ok jetzt hätt ich gedacht man zieht Fläche VK von Fläche HK ab und dann kommt das gleiche wie bei dem Dreieck raus aber nja so einfach ist es mal wieder nicht....was ist der nächste schritt? verwirrt

verwirrt

27.08.2009, 20:26

sulo

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Du hast da im Prinzip schon ganz richtig gedacht. Freude

Freude

Wichtig ist zunächst, dass du es dir vorstellen kannst.
Die Frage ist ja: wie groß ist dieses schwarze Möndchen?

Wie kann man dieses Möndchen mit unseren Formen HK, VK und Dreieck darstellen?

Kommst du selber drauf? Und entsprechend muss man die Flächen addieren und subtrahieren... smile

smile

27.08.2009, 20:37

DemiAndSel

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also ne andere Idee als die von eben grad also HK - VK hätt ich jetzt nicht verwirrt

verwirrt

27.08.2009, 20:40

sulo

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Dann stell dir Folgendes vor:

Du setzt eine Figur aus dem Dreieck und dem HK zusammen (so, wie sie in der Zeichnung aneinandersitzen). Anschließend entfernst du die Fläche des VK. Es bleibt das schwarze Möndchen übrig...

Kannst du mir folgen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2009, 20:47

DemiAndSel

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nein das was ich mir vorstelle wär dann am ende viel zu groß auch wenn man die Fläche VK abzieht :S hm

27.08.2009, 20:53

sulo

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Schade....

Dann mach es so: Zeichne mal das gleichschenklige Dreieck ABC und setze auf die Seite c einen Halbkreis. (So wie auf der Zeichnung).

Anschließend zeichne einen Viertelkreis, der B als Mittelpunkt hat und als Radius die Länge AB (bzw. BC).
Die Schenkel des Viertelkreises sollen AB und BC sein.

Wenn du dir jetzt denkst, dass dieser Viertelkreis die Fläche, die er bedeckt, löscht, dann bleibt das Möndchen übrig.

Kannst du dir das vorstellen...?

27.08.2009, 21:01

DemiAndSel

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hm auch wenn ich deine mühe nur ungern enttäusche aber ich habs noch nicht ganz....also genau so ein Dreieck wie das auf der Zeichnung dann einen Halbkreis bei c....soll der Halbkreis nach innen oder außen? geht das überhaupt das der VK gleichzeitig B als Mittelpunkt und AB und BC die Schenkel sind verwirrt

verwirrt

27.08.2009, 21:09

sulo

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Schau dir doch deine Zeichnung an....
Da kannst du es doch sehen. Der äußere Bogen des schwarzen Möndchens wird von dem Halbkreis über dem Dreieck gebildet. Erkennst du es?

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