Moore-Penrose-Pseudoinverse

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Klaus_Schulze Auf diesen Beitrag antworten »
Moore-Penrose-Pseudoinverse
Hi,
ich arbeite mich gerade durch die Übungsaufgaben meines Linear-Algebra Buches, aber irgendwie komm ich nicht so recht weiter:

Zu zeigen ist, dass die Moore-Penrose-Inverse der Matrix die einzige Matrix ist, die folgenden Ausdruck minimiert:
mit , wobei die Norm die Forbeniusnorm ist und E_m die Einheitsmatrix ist.


Ich schaffe es nicht mal, zu zeigen, dass die Pseudo-Inverse überhaupt den Ausdruck minimiert unglücklich

Könnte mir irgendjemand weiterhelfen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nun zunächst ist für



warum reicht uns das schon fürs Minimum? (Denk an die Normeigenschaften). Wenn Du das hast kümmern wir uns um die Eindeutigkeit.
Klaus_Schulze Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mazze,
Leider gilt nur für spezielle Matrizen unglücklich

Beispiel: Nimmt man die Null-Matrix A := 0 so gilt:


Wobei, bei A := 0 würden alle Matrizen minimieren, da alle das Ergebnis produzieren würden.

In der Aufgabe wird allerdings nicht auf spezielle Matrizen beschränkt...

Oder verstehe ich etwas an der Aufgabe falsch:
Zitat:

Numerical Mathematics, Quarteroni et al.
Show that the Moore-Penrose pseudo-inverse matrix is the only matrix
that minimizes the functional



Kann ich also sagen, dass die Aufgabe fehlerhaft ist?? Oder bin ich zu blöd die zu verstehen?


In der Aufgabe davor, bei der man bestimmte Eigenschaften der Moore-Inversen überträgt, wird allerdings auf Matrizen mit rank(A) = n beschränkt. "Überträgt" sich dieses?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also zunächst hast Du recht, die Zeilen von A müssen linear unabhängig sein damit mein Ansatz klappt. Weiterhin ist der Einwand

Zitat:
Wobei, bei A := 0 würden alle Matrizen minimieren, da alle das Ergebnis produzieren würden.


auch völlig korrekt.

Zitat:
"Überträgt" sich dieses?


Hm, wie meinst Du das? Dazu müsste man die Aufgabe im original Wortlaut haben.
Klaus_Schulze Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
also es sind die Aufgaben 12 und 13 aus Teil 1.13 (Seite 31) von 'Numerical Mathematics'.

Die Seite kann bei Google Books gefunden werden:
books.google.com/books?id=31m4ahn_KfkC&lpg=PR2&dq=numerical%20analysis%20Quarteroni&pg=PA31#v=onepage&q=numerical%20analysis%20Quarteroni&f=false


In Aufgabe 12 wird vorausgesetzt, dass die Matrix A maximalen Rank hat. Explizit neu Erwaehnt wird dieses bei Aufgabe 13 aber nicht. Ist also von einem Fehler im Buch auszugehen oder nehmen die an, dass man die Voraussetzungen von Aufgabe 12 auch auf Aufgabe 13 uebertraegt? (sry, hab hier keine Umlaute)



Wenn man von einer Matrix A mit vollem Rank ausgeht, dann gilt ja: , womit der Ausdruck ja 0 waere (Norm minimal). (Gibts da irgendwie einen schoenen Beweis zu, wenn man kennt? Das Buch beinhaltet nicht besonders viel ueber die Moore-Penrose-Inverse einer Matrix)

Dass dies die einzige Matrix ist, laesst sich glaub ich auch schnell zeigen.
Die Norm ist minimal, wenn AX - E = 0 (solch ein X existiert ja, wie mit der Moore-Penrose-Inversen gezeigt).
Also genau dann wenn AX = E
<=> (A^T A)X = A^T
<=>
Gast12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösbarkeit von AX=E ist nur dann gegeben, wenn, m<=n gilt. Dies ist aber nicht vorausgesetzt.
 
 
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