Hilfe bei Integralberechnung benötigt // Teil 3

31.08.2009, 10:55

Eva-S

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Hilfe bei Integralberechnung benötigt // Teil 3

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{4x+6}{(x-1)(x^2+4x+5)} ~dx \end{eqnarray*}$

lautet meine Aufgabe.
Ich habe mich erneut an der Partialbruchzerlegung versucht und lande nach anschliessendem Koeffizientenvergleich hier:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x-1} ~dx + \int_{}^{}~\frac{-x-1}{x^2+4x+5} ~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich nicht weiter?
Oder kann ich das so als Lösung der Aufgabe stehen lassen?

31.08.2009, 11:53

Rare676

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Für das erste Integral brauchst denk mal an den Logarithmus.
Beim 2. Integral sollte helfen, dass

$\begin{eqnarray*} -x-1=-\frac{1}{2} \cdot 2x+4-5 \end{eqnarray*}$ ist

und dass $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{f'(x)}{f(x)}~dx=ln{|f(x)|} \end{eqnarray*}$

Es wird daraufhin ein drittes Integral entstehen, dass du mit quadratischer ERgänzung und dem arctan(x) lösen kannst Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.08.2009, 11:56

Romaxx

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Dein Ergebnis bis hierhin stimmt. smile

smile

Die linke Seite kannst du bestimmen. Bei der rechten Seite musst du noch etwas machen.

Kennst du die Ableitung von $\begin{eqnarray*} arctan(x) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} x^2+4\cdot x+5 \end{eqnarray*}$ lässt sich auch schreiben als $\begin{eqnarray*} (x+2)^2+1 \end{eqnarray*}$ .

Durch geeignete Substitution kommst du weiter.

edit: viiiel zu langsam

31.08.2009, 12:27

outSchool

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@Rare676: Guter Trick, aber besser so

$\begin{eqnarray*} -x-1=-x-2+1=-(x+2)+1=-\frac{1}{2} \cdot (2x+4)+1 \end{eqnarray*}$

Die Idee von Romaxx ist auch nicht schlecht.

31.08.2009, 12:39

Eva-S

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RE: Hilfe bei Integralberechnung benötigt // Teil 3
Also das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x-1} ~dx \end{eqnarray*}$

mache ich zu

$\begin{eqnarray*} ln|x-1| \end{eqnarray*}$

Richtig?

Das andere Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{-x-1}{x^2+4x+5} ~dx \end{eqnarray*}$

forme ich nun mit Hilfe der Formel von Rare676 um zu
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \cdot \ln |x^2+4x+5| + \int_{}^{}~\frac{1}{x^2+4x+5}~dx \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

31.08.2009, 12:50

outSchool

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RE: Hilfe bei Integralberechnung benötigt // Teil 3
Ja, ist richtig.
Jetzt mit dem Tipp von Romaxx weitermachen.

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31.08.2009, 14:18

Eva-S

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RE: Hilfe bei Integralberechnung benötigt // Teil 3
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x^2+4x+5}~dx \end{eqnarray*}$

ist also noch zu lösen.

Ich weiß das
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x^2+1}~dx = arctan(x) \end{eqnarray*}$

ist und forme

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x^2+4x+5}~dx \end{eqnarray*}$

um zu

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{(x+2)^2+1}~dx = arctan(x+2) \end{eqnarray*}$

Ist das so gemeint?

31.08.2009, 14:39

Romaxx

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Ja.

Freude

31.08.2009, 14:47

Eva-S

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Wie sähe es aus, wenn in der Klammer nicht (x-2), sondern (x^3+1) stehen würde?

Ist jetzt nur ein Beispiel.
Bei Ableiten wäre es ja dann innere Abl. mal äußere Abl., aber wie ist es bei der Integration in diesem Falle?

31.08.2009, 14:56

AD

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Zitat:

Original von Eva-S
Wie sähe es aus, wenn in der Klammer nicht (x-2), sondern (x^3+1) stehen würde

Da geht es schlicht nicht so einfach.

Was oben als letzter (nicht ausführlich hingeschriebener) Schritt gemacht wurde, ist ja eine Substitution $\begin{eqnarray*} u=x+2 \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \dd u = \dd x \end{eqnarray*}$ in diesem Fall passiert nicht viel mit dem Integranden - dass wäre aber im Fall $\begin{eqnarray*} u=x^3+1 \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} \dd u = 3x^2 ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ganz anders, der einfache Arctustangens als Lösung ist dann hinfällig. Das ist ja gerade das komplizierte beim Integrieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.08.2009, 15:10

Eva-S

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Also muss man von Fall zu Falll immer wieder neu gucken wie man es macht?

Also eine Art "algorithmisches" Vorgehen gibt es beim Integrieren nicht?

31.08.2009, 15:16

AD

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Nur in bestimmten Klassen von Integranden. Je nach Erfahrungsschaft können diese Klassen mehr oder weniger groß sein - allumfassend sind sie nicht, können sie auch gar nicht sein.

31.08.2009, 17:40

Eva-S

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Kann ich das als allgemeingültig ansehen bei Integralen?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{f'(x)}{f(x)}~dx=ln{|f(x)|} \end{eqnarray*}$

31.08.2009, 17:40

Eva-S

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Und in meine Formelsammlung aufnehmen?

(Daher die Frage!)

31.08.2009, 17:44

AD

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Ja - überprüf's doch einfach durch Differenzieren der rechten Seite!

Lässt sich auch durch Substitution $\begin{eqnarray*} u=f(x) \end{eqnarray*}$ ermitteln.

31.08.2009, 17:45

Rare676

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Zitat:

Original von Eva-S
Und in meine Formelsammlung aufnehmen?

(Daher die Frage!)

Eigentlich sollte das in einer Formelsammlung drinstehen... verwirrt

verwirrt

31.08.2009, 17:56

Eva-S

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Ja, in Büchern meinst Du?

Ich dachte da an meine eigene FS!

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