Konvergenz einer bestimmten Reihe beweisen

01.09.2009, 01:10

ch40s

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Konvergenz einer bestimmten Reihe beweisen

nabend,
ich habe da ein kleines problem mit folgender Aufgabe:

Beweisen sie die Konvergenz der Folge
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=n}^{2n}~ \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$
Der Grenzwert muss nicht bestimmt werden.

Ich habe mir gedacht, das Ganze ist doch ein Auschnitt der harmonischen Reihe, welche ja bekanntlich divergiert. Da ich nun aber eine Begrenzung habe, muss das Ganze also konvergieren (da man die Partialsummen der harmonischen Reihe geschickt so zusammenfassen kann, das sie jeweils >1/2 sind, und das unendlich oft - was hier ja nun nicht der Fall ist). Wie Beweise ich das aber jetzt formal korrekt (falls mein Gedankengang überhaupt richtig ist; falls nicht bin ich offen für Anregungen) ?

vielen Dank im Voraus
Grüße

01.09.2009, 01:23

Nubler

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alle summanden endlich und endliche summandenzahl => konvergenz

sollte reichen

01.09.2009, 02:37

Quadratzahl-Jan

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Hi ch40s!
Du kannst zeigen, dass die Folge der Partialsummen streng monoton fallend ist.

01.09.2009, 07:58

Mystic

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Zitat:

Original von Nubler
alle summanden endlich und endliche summandenzahl => konvergenz

sollte reichen

Hm, demnach wäre also auch z.B.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac 1 i \end{eqnarray*}$

konvergent? Bist du dir da sicher?

01.09.2009, 08:12

ge88

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Nubler
alle summanden endlich und endliche summandenzahl => konvergenz

sollte reichen

Hm, demnach wäre also auch z.B.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac 1 i \end{eqnarray*}$

konvergent? Bist du dir da sicher?

Das ist die n-te harmonische Zahl.
Harmonische Reihe

01.09.2009, 09:33

Munter

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RE: Konvergenz einer bestimmten Reihe beweisen
Der Grenzwert lautet übrigens $\begin{eqnarray*} \ln(2) \end{eqnarray*}$ was sich recht einfach zeigen lässt. (siehe auch: matheboard.de/thread.php?threadid=395880)

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01.09.2009, 10:05

Duedi

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Zitat:

Original von ge88

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Nubler
alle summanden endlich und endliche summandenzahl => konvergenz

sollte reichen

Hm, demnach wäre also auch z.B.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac 1 i \end{eqnarray*}$

konvergent? Bist du dir da sicher?

Das ist die n-te harmonische Zahl.
Harmonische Reihe

Nein du hast Mystic falsch verstanden, er bezweifelt ja nicht, dass die harmonische Reihe divergiert, er wollte nur anhand dessen den Irrtum in Nublers Beweisführung nachweisen.

01.09.2009, 10:32

ge88

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@Duedi,
Ich wollte nur sagen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ konvergent ist (soweit eine Summe konvergent sein kann). Was habe ich verpasst?

01.09.2009, 10:50

Gast1

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Hi,

Das Missverständnis war wahrscheinlich:

Es geht nicht um die endliche Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=n}^{2n}\, \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

mit einer festen Zahl n, sondern um den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sum_{i=n}^{2n}\, \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

Dieselbe Unklarheit bei dem zweiten Beispiel:

Die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}\, \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

mit festem n konvergiert natürlich, wenn man sie so als Reihe auffasst:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{1}\, \frac{1}{i},\quad \sum_{i=1}^{2}\, \frac{1}{i},\quad \ldots,\quad \sum_{i=1}^{n}\, \frac{1}{i},\quad \sum_{i=1}^{n}\, \frac{1}{i},\quad \ldots \end{eqnarray*}$

Aber die Reihe

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i=1}^{n}\, \frac{1}{i} \right)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}\, \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

divergiert bekanntermaßen.

Also einfach ein Problem der unklaren Schreibweise.

01.09.2009, 11:56

AD

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Zitat:

Original von ge88
(soweit eine Summe konvergent sein kann)

Das ist die entscheidende Nachdenklichkeit in deinem Beitrag. Konvergenz auf irgendwas (hier eine endliche Summe) ohne irgendeinen Grenzübergang zu betrachten ist eine ziemlich sinnfreie Angelegenheit. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.09.2009, 12:29

Mystic

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Zitat:

Original von ge88
@Duedi,
Ich wollte nur sagen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ konvergent ist (soweit eine Summe konvergent sein kann). Was habe ich verpasst?

Du hast verpasst, dass prinzipiell nur Folgen konvergieren können. Selbst wenn man sagt, dass eine Reihe konvergiert, ist das nur eine saloppe Ausdrucksweise dafür, dass die Folge ihrer Partialsummen konvergiert.

Mach dich also auf die Suche nach der FOLGE, die ich gemeint haben könnte und du wirst sie finden, da bin ich mir sicher...

01.09.2009, 13:52

Mystic

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Interessanterweise gab es in diesem Thread zwar jede Menge an Mißverständnissen von Leuten, die den Folgen und Reihenbegriff nicht ordentlich auseinanderhalten können - bereits der Titel dieses Threads ist in diesem Sinn klar falsch und mißverständlich gewählt, da es ja um eine Folge, und keine Reihe geht - aber es wurde bisher noch keine befriedigende Lösung vorgestellt, die nur ganz einfach beweist, dass die Folge konvergiert, ohne gleich mit schweren Geschützen wie Riemannsummen und dgl. aufzufahren und den Grenzwert der Folge mitzubestimmen.

Indem ich also der in Rede stehenden Folge endlich einen Namen gebe, z.B.

$\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{i=n}^{2n} \frac 1 i \end{eqnarray*}$

genügt es für den Nachweis ihrer Konvergenz zu zeigen, dass sie monoton fallend ist, da sie außerdem offensichtlich durch 0 nach unten beschränkt ist.

Dies ist aber fast trivial, wegen

$\begin{eqnarray*} a_n - a_{n+1} = \frac 1 n - \frac 1 {2n+1} - \frac 1 {2n+2} = \frac {3n+2} {n(2n+1)(2n+2)} >0 \end{eqnarray*}$

01.09.2009, 14:25

AD

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Zitat:

Original von Mystic
aber es wurde bisher noch keine befriedigende Lösung vorgestellt, die nur ganz einfach beweist, dass die Folge konvergiert,

Zur Ehre von Quadratzahl-Jan sei gesagt, dass er einen Vorschlag gemacht hat - nämlich genau den, den du hier ausführlich gerechnet hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.09.2009, 14:47

Mystic

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Zur Ehre von Quadratzahl-Jan sei gesagt, dass er einen Vorschlag gemacht hat - nämlich genau den, den du hier ausführlich gerechnet hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, hab ich echt übersehen, sorry!

01.09.2009, 18:30

ch40s

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vielen dank an alle erstmal, besonders an Mystic fürs vorrechnen smile

smile

@Mystic
1. Ja der Threadname war ein Versehen, in der eigentlichen Aufgabe hatte ich ja auch korrekt von einer Folge gesprochen
2. Wie kommt man auf das was nach "an - an+1 = " steht (also das warum von wegen monoton fallend ist klar... auch wie du das dann umgeformt hast...nur nicht wie die drei Brüche zustande kommen) ?
3. Wie hast du das "an" (also Folgenname) so hinbekommen?..Hab's im Formeleditor nicht gefunden

01.09.2009, 19:26

Mystic

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@ch40s

Also, es gibt Fragen, die kann ich verstehen und Fragen, die kann ich nicht verstehen. Deine Frage wo die drei Brüche in der Darstellung von $\begin{eqnarray*} a_n - a_{n+1} \end{eqnarray*}$ herkommen, gehört leider in die zweite Kategorie. Wenn man sich zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder ansieht, z.B.

$\begin{eqnarray*} a_3 = \frac 1 3 + \frac 1 4 +\frac 1 5 +\frac 1 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4 = \, \qquad \frac 1 4 + \frac 1 5 +\frac 1 6 +\frac 1 7+\frac 1 8 \end{eqnarray*}$

ist es da nicht offensichtlich, dass bei der Differenzbildung eben gerade

$\begin{eqnarray*} a_3-a_4 =\frac 1 3 - \frac 1 7 - \frac 1 8 \end{eqnarray*}$

übrigbleibt?! Wenn du das Beispiel verstanden hast - und man sollte sich IMMER zuerst konkrete Bespiele für eine allgemeine Aussage ansehen,die man nicht versteht - so sollte auch der allgemeine Fall dann klar sein.

Was dein Frage bezüglich den Formeleditor betrifft, so zitier einfach einen Beitrag, z.B. meinen hier, der eine Formel enthält, deren Latex-Code dich interessiert und du wirst ihn sehen. Du kannst ja dann wieder rausgehen, ohne zu antworten. (Allerdings empfiehlt es sich, sich an LaTeX-Profis zu halten, es soll ja auch Leute geben, die schreiben z.B. \frac {1} {2} statt \frac 1 2 und ähnliche Dinge und das im LaTeX-Tutorial. verwirrt

verwirrt

)

01.09.2009, 19:33

jester.

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Zitat:

(Allerdings empfiehlt es sich, sich an LaTeX-Profis zu halten, es soll ja auch Leute geben, die schreiben z.B. \frac {1} {2} statt \frac 1 2 und ähnliche Dinge und das im LaTeX-Tutorial. verwirrt

verwirrt

)

Das ist zwar jetzt etwas off topic, aber:
\frac a\cdot b c ergibt $\begin{eqnarray*} \frac a\cdot b c \end{eqnarray*}$

richtig ist aber

\frac{a\cdot b}{c} = $\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot b}{c} \end{eqnarray*}$

01.09.2009, 19:37

ch40s

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@Mystic
viiielen Dank, wirklich, habs dank dem Beispiel geblickt smile

smile

nur so aus Neugierde: Hast du das genauso gemacht, also dir ein Beispiel angesehen, oder war's direkt klar wie das allgemein aussieht?

01.09.2009, 20:02

Mystic

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@jester

Schau dir mal meinen vorigen Beitrag an mit den vielen Stammbrüchen, ich hab mir da gezählte 24 Klammern erspart. Dass man allerdings Klammern sehr wohl setzen muss, wenn Zähler oder Nenner aus mehr als einem Zeichen bestehen, ist klar, bei nur einem Zeichen sollte man sie aber weglassen und damit zu erkennen geben, dass man mitdenkt und sich nicht stur an irgendwelche Regeln hält, als kämen sie vom lieben Gott... So gesehen würde ich auch in deinem Beispiel \frac{a\cdot b}c statt \frac{a\cdot b}{c} schreiben, aber das sind dann schon Feinheiten... Augenzwinkern

Augenzwinkern

@ch40s

Wie ich's gemacht habe? Genauso! Geht einfach schneller, als sich das vorweg umständlich allgemein zu überlegen, obwohl man das im Nachhinein noch tun sollte...

01.09.2009, 23:48

ge88

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von ge88
@Duedi,
Ich wollte nur sagen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ konvergent ist (soweit eine Summe konvergent sein kann). Was habe ich verpasst?

Du hast verpasst, dass prinzipiell nur Folgen konvergieren können. Selbst wenn man sagt, dass eine Reihe konvergiert, ist das nur eine saloppe Ausdrucksweise dafür, dass die Folge ihrer Partialsummen konvergiert.

Naja, das habe ich nicht verpasst. Aber eine Folge ist z.B. $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mystic
Mach dich also auf die Suche nach der FOLGE, die ich gemeint haben könnte und du wirst sie finden, da bin ich mir sicher...

Ich weiss welche Folge du meinst oder - "gemeint haben koenntest". Ich fand nur deine Schreibweise komisch (war auch sehr frueh). Sorry.

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