Gleichungssystem

01.09.2009, 16:43

SLinnig

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Gleichungssystem

Gegeben ist das Gleichungssystem:

x*a -b+2c-3d =12
3a+0b+4c+1d=21
2a-5b+1c+0d=1
3a+2b-1c-1d=16

der Wert der Koordianate x ist so zu bestimmen, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist.

Wie geh ich denn da vor? Das Ergbnis mit x=19 ist mir bekannt. Aber der Lösungsweg nicht.

01.09.2009, 16:59

jester.

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Das ist ein lineares Gleichungssystem. Die Betrachtung der Determinante könnte also zum Ziel führen.

01.09.2009, 17:40

SLinnig

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danke für die Antwort, nur leider führt mich diese nicht zum Ziel.....ich persönlich komme damit nicht weiter verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

01.09.2009, 17:52

jester.

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Dann bleibt dir nur, deinen Rechenweg mit Hilfe des Formeleditors hier hineinzuschreiben, damit wir die Problemstelle ausfindig machen können.

01.09.2009, 18:59

SLinnig

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also mein Ansatz war, dass ich das ganze über die Determinanten-Regeln auflösen wollte, aber dann fliegt mein x raus und somit steh ich jetzt mehr oder weniger vor dem Nichts.

01.09.2009, 19:00

jester.

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Zitat:

Original von jester.
Dann bleibt dir nur, deinen Rechenweg mit Hilfe des Formeleditors hier hineinzuschreiben, damit wir die Problemstelle ausfindig machen können.

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02.09.2009, 16:47

SLinnig

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x*a -b +2c -3d \\ 3a +0b +4c + 1d \\ 2a - 5b +1c +0d \\ 3a+2b-1c-1d \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ 21 \\ 1 \\ 16\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich die Determinante = 0 setzen.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 &-1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 &-1 &-1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 + 4*Zeile 4

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 15 & 8 & 0 &-3 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 &-1 &-1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Zeile 4 plus Zeile 3

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 15 & 8 & 0 &-3 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & -3 &0 &-1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt um die 2 aus Zeile 1 die Zeile 3 subtrahieren würde, hätte ich ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x-4 & 9 & 0 & -3 \\ 15 & 8 & 0 &-3 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & -3 &0 &-1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Und ab dort hänge ich, weil ich nicht weiß mit dem x-4 umzugehen. Wobei ich auch denke, dass dieser Weg auch nicht ganz der richtige ist.

02.09.2009, 17:19

jester.

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Du hast bereits zwei Vorzeichenfehler drin, bevor du überhaupt loslegst. Abgesehen davon machst du dir das Ganze recht schwer. Mein Tipp: Addiere die zweite zur vierten Zeile und entwickle die Determinante dann nach der vierten Spalte mit dem Laplace-Entwicklungssatz.

02.09.2009, 17:23

SLinnig

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da mir die Aufgabe wirklich Kopfzerbrechen bereitet, wärst du so freundlich und mir zu sagen, wo die Vorzeichenfehler sind?

und wenn ich ganz ehrlich bin sagt mir der Laplace-Entwicklungssatz nichts....

02.09.2009, 17:29

SLinnig

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ich hab mal nach dem Laplacescher Entwicklungssatz geschaut.

Also soll ich das ganze zu einer dreizeiligen Determinante entwickeln und dann nach dem Laplacescher Entwicklungssatz gehen......

02.09.2009, 17:29

jester.

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Zitat:

Original von SLinnig
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x*a -b +2c -3d \\ 3a +0b +4c + 1d \\ 2a - 5b +1c +0d \\ 3a+2b-1c-1d \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ 21 \\ 1 \\ 16\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich die Determinante = 0 setzen.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 &-1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 &-1 &-1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

In dem Schritt vom ersten Ausdruck zum zweiten: Zeile 1Spalte 2, da muss -1 stehen, 2. Zeile letzte Spalte, da muss +1 stehen.

Laplace findest du hier. Dieses Verfahren ist offenbar sehr nützlich, wenn du möglichst viele Nullen in einer Zeile oder Spalte stehen hast.

02.09.2009, 17:32

SLinnig

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schomal danke vorab, dann werde ich das ganze mal so versuchen.

02.09.2009, 17:41

SLinnig

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also:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 &-1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 &-1 &-1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Zeile 4 plus Zeile 2

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 &-1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 6 & 0 &3 &0 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

jetzt kommt gleich der nächste Schritt....hoffe, dass ich das richtig mache, da das Verfahren neu fü mich ist.

02.09.2009, 17:49

SLinnig

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Laplacescher Entwicklungssatz :

6 * $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 0 & 4 &-1 \\ -5 & 1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

plus 0* $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 2 & -3 \\ 3 & 4 &-1 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

plus 3* $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & -1 & -3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 0 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

plus 0* $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & -1 & 2 & \\ 3 & 0 & 4 \\ 2 & -5 & 1 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

02.09.2009, 17:54

SLinnig

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addieren :

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -6 & 12 & -18 \\ 0 & 24 &-6 \\ -30 & 6 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

plus

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3x & -3 & -9 \\ 9 & 0 & 3 \\ 6 & -15 & 0 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

02.09.2009, 17:57

SLinnig

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ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3x -6 & 9 & -27 \\ 9 & 24 & 9 \\ -24 & -9 & 0 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

02.09.2009, 18:08

SLinnig

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mit Sarrus:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3x -6 & 9 & -27 \\ 9 & 24 & 9 \\ -24 & -9 & 0 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3x -6 & 9 \\ 9 & 24 \\ -24 & -9 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

02.09.2009, 18:10

SLinnig

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ergibt (3x-6*24*9) + (-24*9*9) + (-27*9*9) - (-24*24*-27)-(9*9*3x-6)-(9*9*0)

= 3x-2835 - (-234x+1558)

aufgelöst nach x = -76,6375

also hab ich definitiv einen Fehler...

02.09.2009, 18:15

jester.

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Vorsicht beim Rechnen mit Determinanten: Seien $\begin{eqnarray*} A,B\in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ , K sei dabei ein beliebiger Körper.

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \det(A)+\det(B)\neq\det(A+B) \end{eqnarray*}$ , außerdem gilt $\begin{eqnarray*} c\cdot \det(A)=\det(c^{\frac{1}{n}}A)\neq\det(cA),\quad c\in K \end{eqnarray*}$

02.09.2009, 19:09

SLinnig

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okeeeeeeeee verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

was heißt das jetzt in meinem Fall?

02.09.2009, 19:34

jester.

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Das heißt:

$\begin{eqnarray*} \det\begin{pmatrix} x & -1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 &1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 &-1 &-1 \end{pmatrix} &\stackrel{A(4,2,1)}{=}& \det \begin{pmatrix} x & -1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 &1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 6 & 2 & 3 &0 \end{pmatrix}<br /> &=& -3\cdot (-1) \cdot\det\begin{pmatrix}3&0&4\\2&-5&1\\6&2&3\end{pmatrix}+\det\begin{pmatrix}x&-1&2\\2&-5&1\\6&2&3\end{pmatrix}<br /> &=& ... \end{eqnarray*}$

Die zwei 3x3-Determinanten kannst du jetzt mit Sarrus berechnen und danach noch mit dem Vorfaktor multiplizieren.

Mir ist auch gerade noch aufgefallen, dass du einen Fehler beim Addieren der zweiten und vierten Zeile gemacht hast: $\begin{eqnarray*} 0+2\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

02.09.2009, 19:38

SLinnig

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wenn ich die zweite und vierte Zeile doch addiere, die Therme sind doch 0...

02.09.2009, 20:08

jester.

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Das geht jetzt für den Hochschulbereich ein bisschen weit, zwei Zeilen einer Matrix zu addieren müsste so gerade noch ohne Hilfe durchgehen.

Und ich weiß nicht was das mit einer Therme zu tun haben soll. verwirrt

verwirrt

02.09.2009, 20:23

SLinnig

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verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

ich glaub nur, dass wir aneinander vorbei gerdet haben

die Therme addieren.....ja das bekomme ich noch hin glaub ich....

03.09.2009, 20:02

SLinnig

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ich muss ehrlich zugeben, dass ich die richtige Lösung immer noch nicht habe.... verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

03.09.2009, 20:22

mYthos

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Also, mathematische Ausdrücke nennt man Terme, ohne h. Eine Therme ist etwas ganz anderes (was wohl?).

Und bitte - unterlasse künftig Mehrfachposts. Dein obiger 7-fach (!) Post ist eklatant und nicht notwendig. Nütze statt dessen die EDIT-Funktion.

mY+

04.09.2009, 18:27

Hans123

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Hast du eigentlich gelesen, was Jester geschrieben hat? Du hast erneut mit der falschen Matrix gerechnet.

Das gilt es zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & -1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Einfache Zeilenumformung ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x-19 & -15 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ -5 & 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} A & 0 \\ B & C \end{vmatrix} = det(A)det(C) \end{eqnarray*}$ folgt für die Determinante:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x-19 & -15 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ -5 & 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 13x-247 =0 \end{eqnarray*}$

Und schon hast du deine 19. Es gibt bestimmt viele andere Verfahren, aber dieses ist bestimmt ein einfaches.

Gruss
Hans

04.09.2009, 18:51

jester.

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Zitat:

Original von Hans123
Aus $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} A & 0 \\ B & C \end{vmatrix} = det(A)det(C) \end{eqnarray*}$ folgt für die Determinante:

An die Regel hab ich gar nicht gedacht, das vereinfacht die Sache ja noch mehr. Darum von mir schon mal ein Danke für die Erinnerung an diese "Blockdeterminante".

05.09.2009, 10:53

SLinnig

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Danke danke für die vielen Beiträge. Ich werde mir die Sache jetzt nochmal genau anschauen.

05.09.2009, 10:56

SLinnig

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Hab mir das mal grade angeschaut. Wie komme ich denn von Schritt:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x-19 & -15 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ -5 & 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

auf die Formel für die Determinante:

Aus $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} A & 0 \\ B & C \end{vmatrix} = det(A)det(C) \end{eqnarray*}$ folgt für die Determinante:

zu dem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x-19 & -15 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ -5 & 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 13x-247 =0 \end{eqnarray*}$

?

Kann da nicht ganz folgen.

05.09.2009, 11:15

jester.

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$\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ stehen für "Blöcke". So wie du in unserem Beispiel die Matrix in 4 Blöcke der Größe $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ umgeformt hast.

So, jetzt haben wir in unserem Fall: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}x-19&-15\\0&13\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C=I_{2} \end{eqnarray*}$ , die Einheitsmatrix der Größe $\begin{eqnarray*} 2 \times 2 \end{eqnarray*}$ .

Was ist nun $\begin{eqnarray*} \det(A) \end{eqnarray*}$ und was $\begin{eqnarray*} \det(C) \end{eqnarray*}$ ? Was ist das Produkt daraus?

05.09.2009, 11:23

SLinnig

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ich schaue gleich mal nach dem Produkt, bin grade noch dabei die Determinante so umzuformen, dass sie die passende ergibt.

05.09.2009, 11:28

SLinnig

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 15 & 8 & 0 &-3 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 &-1 &-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich Zeile 3 zu Zeile 4 addiere komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 15 & 8 & 0 &-3 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

in der Lösung ist die Rede von

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 15 & 8 & 0 &-3 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ -5 & -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

kann es sein, dass sich bei der "5" ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen hat?

Oder wurde anderst umgeformt?

05.09.2009, 11:34

SLinnig

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Diese Aufgabe schafft mich echt.

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & -1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Finde ich nicht den passenden Weg zur Zeilenumforumung auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x-19 & -15 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ -5 & 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

böse

böse

05.09.2009, 11:48

SLinnig

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 &-1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 &-1 &-1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Zeile 3 plus 4

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 &-1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 &<br /> 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 minus 4*Zeile 4

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ -17 & -12 & 0 &3 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 plus 3*Zeile 4

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Zeile 1 plus 3* Zeile 4

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x-15 & 8 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Zeile 1 minus 2*Zeile 3

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x-11 & 18 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Hammer

Hammer

07.09.2009, 18:29

SLinnig

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also meinerseits habe ich noch keinen Fehler gefunden.

wer korrigiert mich bitte?

08.09.2009, 11:32

Hans123

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Beginne mit dieser matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x & -1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Du hast nämlich glaube ich wieder die falsche genommen. Und rechne es mit bleistift auf papier aus. Schreibe jeden einzelnen schritt auf. Das ganze ist ja nicht schwierig, du machst nur dauernd konzentrationsfehler.

15.09.2009, 15:05

SLinnig

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Habe ENDLICH die Lösung smile

smile

Nur noch die Frage zu dieser Lösung:

$\begin{eqnarray*} \det\begin{pmatrix} x & -1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 &1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 3 & 2 &-1 &-1 \end{pmatrix} &\stackrel{A(4,2,1)}{=}& \det \begin{pmatrix} x & -1 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & 4 &1 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 6 & 2 & 3 &0 \end{pmatrix}<br /> &=& -3\cdot (-1) \cdot\det\begin{pmatrix}3&0&4\\2&-5&1\\6&2&3\end{pmatrix}+\det\begin{pmatrix}x&-1&2\\2&-5&1\\6&2&3\end{pmatrix}<br /> &=& ... \end{eqnarray*}$

Ich ziehe ja -3 und -1 vor meine Determinanten. Und zwar sind das ja meine Zahlen aus Reihe 4. Aber die 1 ist doch in meiner Determinante positiv. Warum also -1 und nicht +1, wobei diese ja stimmt, denn nur dann ist das Endergebnis 19.

16.09.2009, 17:50

jester.

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Wenn du nach der i-ten Spalte entwickelst, dann hast du $\begin{eqnarray*} \det A=\sum_{k=1}^{n} A_{k,i}(-1)^{k+i}\det A^{k,i} \end{eqnarray*}$ . Dabie steht $\begin{eqnarray*} A_{i,j} \end{eqnarray*}$ für den Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A und $\begin{eqnarray*} A^{i,j} \end{eqnarray*}$ für diejenige Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Es ist $\begin{eqnarray*} A\in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ , wo K ein beliebiger Körper ist.

16.09.2009, 18:06

SLinnig

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wenn ich nach dieser Regel gehe, dann müsste aber meine -3 zu einer +3 werden und das wird sie ja nicht...

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