Mittlerer Radius eines Kreises

02.09.2009, 10:26

busybee

Mittlerer Radius eines Kreises

Hallo zusammen,

ich habe den Radius eines Kreises bestimmt. Weiss jemand, wie man nun den durchschnittlichen Radius berechnet?

Hintergrund ist, dass ich die Entfernung zur Berechung von Transportkosten verwenden möchte. Würde ich als Transportdistanz den Radius verwenden, würde das bedeuten, dass jede Transporteinheit bis zum äußeren Rand des Kreises fahren würde, was allerdings in meinem Fall (es wird geerntet) nicht stimmt.

Vielen Dank für die Hilfe!

02.09.2009, 10:40

system-agent

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Könntest du noch erklären was der durchschnittliche Radius eines Kreises ist?

02.09.2009, 10:43

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Die Anfrage ist in der Tat sehr verwirrend. Für mich ist nicht mal klar, ob es hier um Geometrie oder Graphentheorie, oder sonstwas geht. unglücklich

02.09.2009, 10:57

bishop

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ich rate mal ins Blaue und vermute es geht um eine "etwa kreisförmige" Linie oder Ansammlung von Punkten und deren durchschnittlichem Radius von einem Mittelpunkt. Eine fachmännisch mit paint fabrizierte Skizze hänge ich mal an.
Wie in der Skizze auch angedeutet musst du im Wesentlichen die Entfernung eines jeden Punktes vom Mittelpunkt berechnen/messen, und dann über die Anzahl der Punkte mitteln.

Solltest du eine kontinuierliche Linie haben, so gibt es entweder die Möglichkeit sich n punkte daraus zu picken und damit wieder zu mitteln (je größer n umso besser die Näherung), oder du kannst dann Integrieren, allerdings musst du die Linie als Funktion ausdrücken können (z.B in Polarkoordinaten)

gruß bishop

[attach]11136[/attach]

02.09.2009, 10:58

busybee

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Wie ihr merkt bin ich keine Mathematikerin :-)

Im Kreis befindet sich eine bestimmte Menge an Rohstoffen, die zum Mittelpunkt transportiert werden müssen. Würde ich den Radius verwenden, würden Transportfahrzeuge immer vom äußeren Rand des Kreises hin und her fahren.
Der mittlere Radius soll die durchschnittliche Distanz vom Kreisrand zum Mittelpunkt darstellen. Das heißt man hat gleichverteile Punkte innerhalb des Kreises, deren durchschnittliche Entfernung zum Mittelpunkt gesucht wird.

Ich hoffe, ich konnte es einigermaßen erklären?!

vielen Dank noch mal!!!

02.09.2009, 11:16

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Es geht also, mit dem Ursprung als Erntespeicher, um die Bestimmung des Wertes

$\begin{eqnarray*} \bar{r} := \frac{1}{|F|} \int\limits_F ~ |x| ~ \dd A \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ das Erntefeld darstellt und $\begin{eqnarray*} \dd A \end{eqnarray*}$ ein Flächenelement an Position $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ innerhalb von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Kreis um den Ursprung mit Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} |F| = \pi R^2 \end{eqnarray*}$ sowie in Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} |x|=r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd A = r ~ \dd r ~ \dd\varphi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\pi < \varphi \leq \pi \end{eqnarray*}$ - dann rechne mal schön.

02.09.2009, 11:17

bishop

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dann ist das genau das was ich oben geschrieben habe. Nimm den Weg, der insgesamt gefahren wurde, halbiere ihn (da der wagen hin und zurück fährt) und teile ihn durch die Anzahl der Wege -> die Mittlere Entfernung, die dein Mähdrescher gefahren ist

€dit: Lool @ Arthur xD

02.09.2009, 11:20

busybee

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Vielen Dank euch beiden! :-)

02.09.2009, 12:50

busybee

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das hätte auch geholfen... :

matheboard.de/thread.php?threadid=25782&hilight=durchschnittliche+entfernung+kreis

02.09.2009, 13:15

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Nein: In dem von dir verlinkten Thread geht es um die mittlere Entfernung von zwei Punkten im Kreis.

Bei deinem Problem geht es um die mittlere Entfernung eines Kreispunktes vom Mittelpunkt - eine erheblich leichtere Fragestellung als die andere.

02.09.2009, 13:48

Mystic

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Mit ein bißchen Vorarbeit kann man sich das Leben noch erheblich einfacher machen, in dem man sich nämlich überlegt, dass für einen Punkt $\begin{eqnarray*} (r,\phi) \end{eqnarray*}$ (in Polarkoordianten) die Entfernung zum Mittelpunkt ganz offensichtlich nur von r und nicht $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ abhängt. Daher kann man, ohne die Lösung zu verfälschen, o.B.d.A. annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \phi =0 \end{eqnarray*}$ ist, d.h., dass sich alle Transporteinheiten in dem Intervall [0, R] befinden, wobei R der Radius des in Rede stehenden Kreises ist. Damit kann man aber das Beispiel dann im Kopf lösen...

02.09.2009, 13:54

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"Erheblich vereinfachen" ist Ansichtssache: Es ist auch kein Beinbruch, das Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\pi}^{\pi} ~ \dd\varphi = 2\pi \end{eqnarray*}$ im Vorbeigehen zu erledigen.

02.09.2009, 14:07

Mystic

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Naja, so ein Doppelintegral hat für viele Schüler schon mal etwas Furchteinflößendes, auch wenn es dann im Prinzip harmlos ist, ganz abgesehen davon, dass man zu seiner Erstellung den Umrechnungsfaktor

$\begin{eqnarray*} dx dy = r dr d\phi \end{eqnarray*}$

kennen muss. All dem geht man aus dem Weg, wenn man vorher sein Hirn ein bißchen anstrengt, aber dafür dann nur das einfache Integral

$\begin{eqnarray*} \frac 1 R \int_0^R r dr \end{eqnarray*}$

berechnen muss.

02.09.2009, 14:31

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Jetzt kommst du aber langsam auf den Holzweg: Die Reduktion auf die Strecke unterschlägt die Information, dass in größeren Entfernungen vom Mittelpunkt mehr "Fläche" vorhanden ist als in niedrigen Entfernungen!!! Das Ergebnis wird dann auch falsch.

02.09.2009, 15:48

Mystic

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Ja, ist richtig, da hatte ich ein Blackout, sorry... Das einzige was man machen kann, um die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ auszunützen und damit, wenn man will, dem Doppelintegral zu "entkommen", ist dass man das Flächenelement dA von vornherein als Kreisring mit der "Dicke" dr annimmt, also

$\begin{eqnarray*} dA = 2 \pi r dr \end{eqnarray*}$

setzt und dann nur mehr nach r zu integrieren braucht, was zugegebenermaßen nicht wirklich ein Riesenunterschied ist...

15.09.2009, 12:57

busybee

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Um sicher zu gehen:
ist es richtig, dass 2/3 r raus kommt?

24.05.2011, 15:26

stn021

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Wie wärs so:

R sei der Radius des Kreises, von dem die mittlere Entfernung bestimmt werden soll
r sei der Radius eines Kreises innerhalb der betrachteten Fläche

Die Entfernung ist die Summe aller $\begin{eqnarray*} 0 <= r <= R \end{eqnarray*}$ , jeweils gewichtet mit dem Umfang des zugehörigen Kreises, $\begin{eqnarray*} U = 2 \pi * r \end{eqnarray*}$

Die Summe der Gewichtungen ist dann

$\begin{eqnarray*} G \, = \, \int_0^R{ \left( 2\pi r \right) \mathrm{d}r} \, = \, 2\pi \int_0^R{r\mathrm{d}r} \, = \, 2\pi \left[ \frac{1}{2} r^2 \right]_0^R \, = \, 2\pi \, \frac{\left[ R^2 - 0 \right]}{2} \, = \, \pi R^2 \end{eqnarray*}$ , also erwartungsgemäß gleich der Fläche eines Kreises mit dem Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$

Die mittlere Entfernung E ist die Summe der gewichteten Entfernungen, normiert mit der Summe der Gewichtungen.

$\begin{eqnarray*} E \, = \, \frac{1} {\pi R^2} \int_0^R{ \left( r 2\pi r \right) \mathrm{d}r} \, = \, \frac{2\pi}{\pi R^2} \int_0^R{\left( r^2 \right) \mathrm{d}r} \, = \, \frac{2}{R^2}\left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_0^R \, = \, \frac{2}{3} \frac{\left[ R^3 - 0 \right]}{R^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {} \hspace{20pt} = \, \frac{2}{3} R \end{eqnarray*}$

Soweit klar. Eine schön einfache Formel smile

Was ist aber mit der mittleren Entfernung eines Kreisrings von der Kreismitte?

$\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ sei der Radius des äußeren Kreises
$\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ sei der Radius des inneren Kreises

Die Summe der Gewichtungen wäre dann

$\begin{eqnarray*} G \, = \, \int_{R_1}^{R_2} { \left( 2\pi r \right) \mathrm{d}r } \, = \, 2\pi \left[ \frac{R_2^2 - R_1^2}{2} \right] \, = \, \pi \left( R_2^2 - R_1^2 \right) \end{eqnarray*}$ , erwartungsgemäß entsprechend der Fläche des Kreisrings.

Die mittlere Entfernung wäre:

$\begin{eqnarray*} E \, = \, \frac{1}{ \pi \left( R_2^2 - R_1^2 \right) } \int_{R_1}^{R_2}{ \left( r \, 2\pi r \right) \mathrm{d}r } \, = \, \frac{2\pi}{ \pi \left( R_2^2 - R_1^2 \right) } \int_{R_1}^{R_2}{ \left( r^2 \right) \mathrm{d}r } \, = \, \frac{ 2 }{ R_2^2 - R_1^2 } \left[ \frac {r^3}{3} \right]_{R_1}^{R_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {} \quad \, = \, \frac{2}{3} \, * \, \frac{R_2^3 - R_1^3}{R_2^2 - R_1^2} \end{eqnarray*}$

Nicht mehr so schön verwirrt

Läßt die sich vereinfachen ?

24.05.2011, 18:33

Max Schnitzel

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Wenn das Transportfahrzeug immer nur einen Rohstoff an einem Punkt abholt und nicht auf seinem Weg zum Mittelpunkt zurück noch einen anderen Punkt anfährt, um dort nochmal etwas aufzuladen, dann ist es egal wo sich die Punkte in dem Kreis befinden.
Man kann sich dann die Punkte, die es anzufahren gilt, alle auf einer Linie vorstellen. Hat man n Punkte also n-fach viele Wege und kennt deren Strecke, muss man nur den Mittelwert bilden.

25.05.2011, 00:42

stn21

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Zitat:

Original von Max Schnitzel
Wenn das Transportfahrzeug immer nur einen Rohstoff an einem Punkt abholt und nicht auf seinem Weg zum Mittelpunkt zurück noch einen anderen Punkt anfährt, um dort nochmal etwas aufzuladen ...

Davon bin ich ausgegangen.

Zitat:

... Hat man n Punkte also n-fach viele Wege und kennt deren Strecke, muss man nur den Mittelwert bilden.

Genau, das ist der Sinn der dargestellten Integration.

Gebildet wird der Mittelwert aller denkbaren Fahrten zu unendlich vielen möglichen Punkten innerhalb des Kreises oder innerhalb eines Kreisrings.

Zitat:

... einen Rohstoff an einem Punkt abholt und nicht auf seinem Weg zum Mittelpunkt zurück noch einen anderen Punkt anfährt, dann ist es egal wo sich die Punkte in dem Kreis befinden...

das verstehe ich nicht.

Wenn zum Beispiel alle Punkte auf dem Kreisrand liegen, dann beträgt die Fahrstrecke immer R (=Kreisradius). Wenn aber alle Punkte in der Mitte liegen, beträgt die Strecke immer Null. Es ist also keineswegs egal, ob man den gesamten Kreis, ein innenliegenden Kreisring, einen außen liegenden Kreisring oder andere Teilmengen des Kreises verwendet.

26.05.2011, 15:31

Max Schnitzel

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Was ich mit egal meine ist, dass der Winkel zu dem Punkt vom Mittelpunkt aus, egal ist. Ob ich jetzt 100 Meter nach Süden oder 100 Meter nach Westen laufe macht keinen unterschied in Bezug auf die Richtung (Winkel) die Strecke bleibt die selbe - 100 Meter. Daher kann man annehmen, dass alle Punkte auf einer Linie liegen.
Beispiel:

Ich fahre zu Punkt A 100m, zu Punkt B 300m, zu Punkt C 50m und zu Punkt D 250m.
Also beträgt die Durchschnittliche Strecke (100+300+50+250)/4 = 175m.
Hierbei ist doch der Winkel, wenn man in Polarkoordinaten rechnet, egal.

26.05.2011, 19:45

stn021

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Zitat:

Original von Max Schnitzel
Was ich mit egal meine ist, dass der Winkel zu dem Punkt vom Mittelpunkt aus, egal ist. ... Daher kann man annehmen, dass alle Punkte auf einer Linie liegen.

Verstehe. Stimmt, die Entfernung ist vom Winkel unabhängig.

Wie groß bei Anwendung dessen ist die durchschnittliche Fahrstrecke (egal ob einfach oder hin/rück), wenn man vom Mittelpunkt aus jeden Punkt im Kreis je einmal anfährt ?

Ein "Punkt" kann dabei unendlich klein sein (dann ist ein Integral nötig) oder eine endliche Größe haben, zb 1qm (dann ist es leichter graphisch nachzuvollziehen)

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