Vektorraum

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Gotteshand Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum
Hallo,bin am verzweifelnunglücklich jegliche Aufgabe die von Beweisen von Vektorräumen zu tun hat, ist unlösbar für mich..ich hoffe einer von euch kann es mir erklären, für dummiessmile

so: Wir definieren die Menge der Polynome als



Desweiteren definieren wir die Addition und die Skalarmultiplikation für Elemente durch

(p+q)(x):=p(x) + q(x) und (lamda*p)(x):=lamda*p(x)

Zeigen Sie, dass P ein Vektorraum über R ist.
Zeigen Sie, dass die Menge {1,x,x²,..x^n} für jedes linear unabhängig ist. Welche Dimension hat der Vektorraum P?


Ich hab überhaupt keine Ahnung wie ich an so eine Aufgabe rangehen soll.
Vielen dank im Vorraus.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste was man tut , bevor man überhaupt anfängt Eigenschaften nachzurechnen, ist zu schauen ob die Verknüpfungen wohldefiniert sind. D.h ob tatsächlich wieder ein Polynom herauskommt. (Das ist hier allerdings äußerst trivial).

Danach wirst Du einfach die Vektorraumaxiome nachrechnen. Eine Menge ist dann ein Vektorraum, wenn die Vektorraumaxiome gelten. Welche das sind sollte in deinen Unterlagen stehen. Hierbei ist wirklich nur nachrechnen erforderlich.

Die lineare Unabhängigkeit schauen wir uns an, wenn Du weisst das es sich um einen VR handelt.
Gotteshand Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das erste was man tut , bevor man überhaupt anfängt Eigenschaften nachzurechnen, ist zu schauen ob die Verknüpfungen wohldefiniert sind. D.h ob tatsächlich wieder ein Polynom herauskommt. (Das ist hier allerdings äußerst trivial).

da hab ich schon schwierigkeiten,weil ich nicht weiss, was du damit meinst, aber ich versuch mal das hinein zuinterpretieren, was ich mir denke.

wenn man das ausschreiben würde, bei sagen wir z.b. n=3, dann würde es ja
a=alpha

a+a1x^1+a2x^2+a3x^3 lauten und das sind ja polynome oder?

Es gibt ja acht Vektorraumaxiome, die ich auch kenne aber bei welcher funktion wende ich die an? bei der (p+q)(x):=p(x) + q(x) oder (lamda*p)(x):=lamda*p(x) oder doch gar bei ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wohldefiniertheit sichert hier ab, dass wir uns nicht aus dem Raum der Polynome entfernen. Seien p,q Polynome und a eine reelle Zahl, dann muss auch p + q ein Polynom sein und auch a * p.

Zitat:
Es gibt ja acht Vektorraumaxiome, die ich auch kenne aber bei welcher funktion wende ich die an? bei der (p+q)(x):=p(x) + q(x) oder (lamda*p)(x):=lamda*p(x) oder doch gar bei ?


Du willst zeigen das die Vektorraumaxiome für die Polynome gelten wenn man die Addition und Skalarmultiplikation so definiert wie ihr es getan habt. Nehmen wir die Kommutativität, seien also 2 polynome. Dann ist wohl

und damit also

Gotteshand Auf diesen Beitrag antworten »

ich versuch das jetzt mal mit den anderen vektorraumaxiome:

assoziativität: laut definition (x+y)+z = x+(y+z)
bei unserem beispiel: (p+q)+r= p+q+r = p+(q+r) = p+q+r
da auf beiden seiten klammer aufgelöst dasselbe rauskommt, besteht eine assoziativität.

das neutrale element: laut definition: 0+x=x
bei unserem beispiel: 0+p+q = p+q

inverses Element: laut definition: x+(-x)=0
bei unserem beispiel: p+q-p-q = 0

den rest mach ich, sobald das hier richtig istsmile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
bei unserem beispiel: (p+q)+r= p+q+r = p+(q+r) = p+q+r


Da würde mir die Begründung fehlen warum (p + q) + r = p + q + r sein soll. (Das ist richtig aber wir wissens ja noch nicht)

Zitat:
bei unserem beispiel: 0+p+q = p+q


Es ist völlig ausreichend 0 + p = p zu zeigen. Allerdings hast Du es hier wieder nicht bewiesen. Zudem musst Du 0 in der Form schreiben, wobei Du dir n und die Alphas aussuchen kannst. Es soll ja schliesslich ein Polynom sein.

Zitat:
bei unserem beispiel: p+q-p-q = 0


Auch hier würde p - p = 0 völlig reichen. Und auch hier hast Du es wieder nicht gezeigt.
 
 
Gotteshand Auf diesen Beitrag antworten »

ehrlich gesagt, weiss ich nicht wie ich das zu beweisen habe..ich glaube auch, dass das der hauptgrund ist wieso ich die ganzen vektorraumaufgaben nicht lösen kann.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe Dir doch schon ein Beispiel gegeben. Dort habe ich die Addition auf Vektorebene runtergebrochen auf Additionen von Zahlen (die wir kennen). Noch als Hinweis :

Zwei Funktionen f und g mit gleichem Definitionsbereich D sind schon dann gleich wenn



gilt. Dein D ist hier ganz R und die Funktionen sind Polynome.
Gotteshand Auf diesen Beitrag antworten »

das Problem ist, du hast gesagt, dass dir die Begründung fehle, wieso (p+q)+r = p+q+r sein soll aber ich weiss nicht wie ich das machen soll.. ich kann leider mit deinem Hinweis nichts anfangen, irgendwie steh ich auf dem schlauch. Es tut mir leid,dass ich gerade deine nerven strapaziere...



dann ist doch (p+q)+r = p+q+r = p+(q+r)= p+q+r stimmt das vllt.? da ja beide polynome sind..
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du weisst nicht das es für Polynome gilt. Du weisst aber das für reelle Zahlen a,b,c



gilt. Und Du weisst das p(x) eine reelle Zahl ist...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ein bisschen Offtopic: Welcher Übungsleiter führt Polynome als Funktionen ein? geschockt Das kann ja nur unweigerlich zu Problemen führen wenn man zu allgemeinen Körpern übergeht(in denen die Aussage dass K[x] unendlich-dimensionaler Vektorraum ist ja auch noch stimmt).
Gotteshand Auf diesen Beitrag antworten »


aber laut dieser zeile ist p(x) auch ein Polynom. D.h. doch das es auch für das gelten muss.

ach ich bin am verzweifeln..
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich setz mal alle 2 Hinweise zusammen :

Zitat:
Zwei Funktionen f und g mit gleichem Definitionsbereich D sind schon dann gleich wenn


Du willst zeigen das die Funktionen




gleich sind. Dazu zeigst Du das



gilt.

Und jetzt kommt der zweite Hinweis von mir

Zitat:
Du weisst aber das für reelle Zahlen a,b,c gilt. Und Du weisst das p(x) eine reelle Zahl ist...
Gotteshand Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn p(x)? ich dachte p(x) wär ein Polynom und du sagst eine reelle zahl. geht beides?
also wenn p(x) eine reelle zahl ist, dann müsste die regelung auch dafür gelten, da wie du bereits gesagt hast (a+b)+c=a+(b+c) gilt.

also diese zwei funktionen sind gleich wenn sie den selben Definitionsbereich haben und den haben sie ja, da der Definitionsbereich alle reellen zahlen sind oder?
wenn nicht, dann gebe ich es aufunglücklich
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also diese zwei funktionen sind gleich wenn sie den selben Definitionsbereich haben und den haben sie ja, da der Definitionsbereich alle reellen zahlen sind oder?


Das habe ich mit keinem Wort gesagt. Dann wären cosinus und sinus auch gleich weil sie den gleichen Definitionsbereich haben.

Zitat:
was ist denn p(x)? ich dachte p(x) wär ein Polynom und du sagst eine reelle zahl. geht beides?


Diese Polynome hier bilden reelle Zahlen auf reele Zahlen ab. Das heisst wenn man p(x) schreibt, meint man das Bild von x unter p. Ganz konkret

ist wohl ein Polynom, und dann ist p(1) = 2 wohl eine Zahl. Ums mal genauer zu fassen. Die Elemente deines Vektorraumes sind Polynome p die man an der Stelle x auswerten kann. Dafür schreibt man dann p(x), was dann eine Zahl ist. Polynome sind Funktionen, und Funktionen sind gleich wenn sie an jedem x gleich sind, wenn also die Auswertung an der Stelle x jeweils das gleiche ergibt. Und nichts anderes muss man hier machen. Man fängt also an

Gotteshand Auf diesen Beitrag antworten »

aaaaah, d.h. wenn dasselbe rauskommt, dann sind sie gleich - was ja auch logisch ist.
aber was du da geschrieben hast in der letzten zeile, ist das jetzt ein "beweis"? weil soviel anders, als meine variante am anfang ist es nämlich kaumsmile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das war noch kein Beweis, die letzten 2 Beweisschritte hab ich noch offen gelassen. Fakt ist das Du bei



die Aussage die Du eigentlich beweisen willst benutzt.
Gotteshand Auf diesen Beitrag antworten »

also ich will ja beweisen, dass es dasselbe ist. d.h. man geht nun davon aus, dass es dasselbe ist und schaut ob wirklich auch dasselbe rauskommt. und wenn es klappt, dann ist es bewiesen oder?
aber ich hab keine ahnung, wie die anderen zwei schritte aussehen würden. ich hätte es eigentlich nur mit einer anderen reihenfolge probiert. Sozusagen eine andere "zahl" ausklammern und geschaut, ob man auf dasselbe kommt.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzten 2 Schritte sind quasi genau die ersten zwei Schritte nur rückwärts.
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