zyklische Gruppe

03.09.2009, 15:05

donvito

zyklische Gruppe

Kann mir mal jemand sagen, wieso aus der Tatsache, dass eine Gruppenichtzyklisch ist, folgt, dass nur bestimmte Ordnungen möglich sind? Das wird bei einer Klausuraufgabe eingesetzt undbeschleunigt den Lösungsvorgang enorm.

In der Aufgabe geht es um die Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15}^* =\left\{ 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\right\} \end{eqnarray*}$

Daneben wollte ich auch gleich noch die Frage loswerden, ob 1 in multiplikativen Gruppen grundsätzlich dabei ist? Denn 1 ist ja in jedem Fall ein Teiler von m

03.09.2009, 15:31

system-agent

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Mit dem Satz von Lagrange folgt, dass die Ordnung eines Gruppenelements die Gruppenordnung teilen muss. Satz von Lagrange gilt für alle Gruppen.

In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} |\mathbb Z^*_{15}|=8 \end{eqnarray*}$ , also können die Elemente nur die Ordnung 1, 2, 4 und 8 haben.

Deine zweite Frage verstehe ich nicht.

03.09.2009, 16:23

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von donvito
Kann mir mal jemand sagen, wieso aus der Tatsache, dass eine Gruppenichtzyklisch ist, folgt, dass nur bestimmte Ordnungen möglich sind?

Du solltest vielleicht konkreter deine Problemstellung darlegen. Zunächst kann man so z.B. sagen, dass eine nichtzyklische Gruppe keine Primzahlordnung besitzen kann. Allgemeiner kann ihre Ordnung nicht die Form $\begin{eqnarray*} p_1\cdot\ldots\cdot p_m \end{eqnarray*}$ mit verschiedenen Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_1,\ldots,p_m \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} p_i\not| (p_j-1) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ gilt, haben.

In der Aufgabe geht es um die Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{15}^* =\left\{ 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von donvito
Daneben wollte ich auch gleich noch die Frage loswerden, ob 1 in multiplikativen Gruppen grundsätzlich dabei ist? Denn 1 ist ja in jedem Fall ein Teiler von m

Was meinst du mit Eins und was mit multiplikativer Gruppe?

Natürlich ist Eins Teiler jeder Zahl, aber andererseits ist Eins auch teilerfremd zu jeder Zahl.

03.09.2009, 16:40

donvito

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Danke schonmal für eure Antworten. Die multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m^* \end{eqnarray*}$ ist die Gruppe, die nur noch die Zahlen enthält, die keinen echten Teiler mit m haben. Nun ist die Frage, ob die 1 einen echten Teiler darstellt.

In einem Buch habe ich ein Beispiel gefunden, wo die 1 nicht dabei war. Bei diesem Beispiel hier stand aber in der Lösung, dass die Gruppe 8 Elemente hat und auf 8 komme ich nur mit der 1. Oder seht ihr da irgendwo ein falsches Element?

Das mit dem Satz von LaGrange ist klar, aber in der Lösung der Klausur wird gefolgt, dass dann nur die Ordnungen 1, 2 und 4 (also ohne 8) in Frage kommen. Das hat dann aber zur Folge, dass man ewig nach einem Element der Ordnung 8 sucht.

Also die Aufgabe an sich kann ich prima lösen, aber in der Klausur hat man eben nur begrenzt Zeit und deswegen ist es wichtig, dass man den Lösungshinweis mit der nicht zyklischen Gruppe verwenden kann.

03.09.2009, 16:46

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von donvito
Danke schonmal für eure Antworten. Die multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m^* \end{eqnarray*}$ ist die Gruppe, die nur noch die Zahlen enthält, die keinen echten Teiler mit m haben. Nun ist die Frage, ob die 1 einen echten Teiler darstellt.

Man kann viele Gruppen multiplikativ schreiben, nicht nur die Einheitengruppe der zyklischen Gruppe, deswegen war ich etwas irritiert. Und natürlich gehört die Eins dazu, sie ist ja auch modulo $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ invertierbar - ganz einfach weil sie selbstinvers ist.

Zitat:

Original von donvito
Das mit dem Satz von LaGrange ist klar, aber in der Lösung der Klausur wird gefolgt, dass dann nur die Ordnungen 1, 2 und 4 (also ohne 8) in Frage kommen. Das hat dann aber zur Folge, dass man ewig nach einem Element der Ordnung 8 sucht.

Anscheinend geht es nicht um die Gruppenordnung, sondern um Ordnungen der Gruppenelemente. Nun dann ist es doch nicht schwierig: Wenn es ein Element der Ordnung Acht gäbe, dann würde dieses Element die ganze Gruppe erzeugen, also wäre die Gruppe zyklisch! Wenn sie also nicht zyklisch ist, kann es auch kein Element der Ordnung Acht geben.

03.09.2009, 16:48

donvito

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Da hätte ich jetzt natürlich auch drauf kommen können Big Laugh

Trotzdem danke!

04.09.2009, 19:52

Dieter123

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Nur so am Rande: Wäre eine Gruppe ohne neutrales Element weiterhin eine Gruppe? Gäbe es somit multiplikative Gruppen ohne 1?

04.09.2009, 20:01

donvito

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Nein, eine Gruppe ohne neutrales Element ist definitiv keine Gruppe mehr. Allerdings gibt es auch Gruppen mit neutralem Element 0 statt 1. Das sind dann die Gruppen, welche Addition als Verknüpfung haben. Bei den multiplikativen Gruppen fallen immer alle Elemente raus, die mit dem m einen echten gemeinsamen Teiler haben. Da 1 aber nie ein echter Teiler ist, ist sie wohl immer dabei. Bei Gruppen mit Addition als Verknüpfung muss stattdessen die 0 immer dabei sein.

04.09.2009, 20:54

Mathespezialschüler

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Anscheinend redest du nur von den Gruppen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und deren Einheitengruppen, es gibt aber noch sehr viel mehr Gruppen und deine Erklärung mit der Null und der Eins passt im Allgemeinen einfach nicht. unglücklich

Das ist alles nur Konvention. Ob das neutrale Element nun $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ oder sonstwie heißt, ist total egal. Ob die Verknüpfung nun additiv oder multiplikativ geschrieben wird oder mithilfe von Zeichen wie $\begin{eqnarray*} \bullet,\star,\circ,\odot,\oplus \end{eqnarray*}$ usw., ist auch vollkommen belanglos. Ich könnte auch die gewöhnliche Addition in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit einem Multiplikationszeichen schreiben und es wäre mathematisch nichts anderes. Es würde zwar niemand eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} 4\cdot 7=11 \end{eqnarray*}$ verstehen, aber das liegt nur daran, dass sich die Schreibweise mit dem Plus für die Addition in den ganzen Zahlen nunmal eingebürgert hat.

04.09.2009, 21:41

donvito

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Ändert aber auch nichts an der Kernaussage, dass es keine Gruppen ohne neutrales Element gibt.

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