Galoistheorie C/R

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03.09.2009, 19:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Galoistheorie C/R Ist $\begin{eqnarray} \mathbb C / \mathbb R \end{eqnarray}$ eine galoissche Körpererweiterung vom Grad 2 und die komplexe Konjugation ein erzeugendes Element von $\begin{eqnarray} Aut_{\mathbb R}(\mathbb C) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} ord(Aut_{\mathbb R}(\mathbb C))=2 \end{eqnarray}$ und folgt daraus, dass für jedes reelle Polynom $\begin{eqnarray} f(z) \in \mathbb R[z] \end{eqnarray}$ mit einer komplexen Nullstelle $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb C\ \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \alpha \notin \mathbb R \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \overline \alpha \end{eqnarray}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ ist ? Ein einfaches "ja" von einem Experten genügt . (Sollte ich einen Fehler gemacht haben, bitte ich um Hinweise, was nicht stimmt.)
03.09.2009, 20:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
04.09.2009, 17:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Dann gilt wegen $\begin{eqnarray} \mathbb Q \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ auch für jedes rationale Polynom $\begin{eqnarray} f(x)\in\mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ mit einer komplexen Nullstelle $\begin{eqnarray} \alpha\in\mathbb C \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \alpha \notin \mathbb R \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} f(\alpha)=f(\overline\alpha)=0 \end{eqnarray}$ ist ? Nochmal "ja" ?
04.09.2009, 22:18	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich ja
05.09.2009, 11:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke . Jetzt ist mir endlich die achsensymmetrische Lage der Nullstellen bezüglich der reellen Zahlengrade klar, die bei allen Beispielen $\begin{eqnarray} f(x)\in\mathbb Z[x] \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} f(x)\in\mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ auftritt. (Nach der Gültigkeit der Aussage für ganzzahlige Polynome frage ich nicht mehr, das glaube ich auch so. )
05.09.2009, 12:10	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein gilt natürlich: $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k \in K[x] \end{eqnarray}$ dann ist für $\begin{eqnarray} \sigma \in \mathrm{Aut}_K(L) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(a) = 0 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} f(\sigma(a)) = \sum_{k=0}^n a_k \sigma(a)^k = \sum_{k=0}^n \sigma(a_k) \sigma(a^k) = \sigma(\sum_{k=0}^n a_k a^k) = \sigma(f(a)) = \sigma(0) = 0 \end{eqnarray}$ .
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05.09.2009, 13:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke . Das heißt, ich muß gar nicht so umständlich mit $\begin{eqnarray} \mathbb C/\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Gal(\mathbb C,\mathbb R) \end{eqnarray}$ argumentieren, sondern kann einfach benutzen, daß die komplexe Konjugation $\begin{eqnarray} \sigma:\mathbb C \to \mathbb C,\alpha \to \overline \alpha \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ -Automorphismus und eingeschränkt auf $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ die Identität ist, also $\begin{eqnarray} \sigma\in Aut_{\mathbb Q}\mathbb C \end{eqnarray}$ .
05.09.2009, 14:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup. Dass bei reellen Polynomen echt komplexe Nullstellen immer konjugiert auftreten, lernt man doch sogar meistens im ersten Semester. Das ist dann die Gleichung $\begin{eqnarray} f\left(\overline a\right)=\sum_{k=0}^n~a_k\overline a^k=\sum_{k=0}^n~\overline{a_k}\overline{a^k}=\sum_{k=0}^n~\overline{a_ka^k}=\overline{\sum_{k=0}^n~a_ka^k}=\overline{f(a)} \end{eqnarray}$ , welche natürlich nichts anderes ist als kistes Gleichung, aber im ersten Semester muss man für solch eine elementare Tatsache auch noch lange nichts über Körpertheorie wissen.
05.09.2009, 14:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ist alles klar und einfach - danke. (1. Semester ist lange her, Einführung in die Algebra war 5. Semester, und wenn ich heute Algebra lese, komme ich aus dem Staunen nicht mehr raus. )

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