dualraum |
| 03.09.2009, 21:10 | nagato | Auf diesen Beitrag antworten » |
| dualraum gibt es eine anschauliche bzw geometrische Interpretation des Dualraums bzw. des Bidualraums? vieln Dank |
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| 04.09.2009, 11:09 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Bedeudung der reziproken Basis im üblichen euklidischen Vektorraum (bei euklischer Metrik) ist folgende: Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum mit den n Basisvektoren a(i), wobei i=1,2,...,n. Stelle Dir diese n Basisvektoren als die Zeilen einer Matrix A vor. Bilde nun die inverse Matrix A'. Dann sind die Spalten dieserinversen Matrix A' die dualen Basisvektoren a'(i). Für beide Matrizen gilt also: AA'=Einheitsmatrix Rein rechnerisch findet man die duale Basis also durch Berechnen einer inversen Matrix. Ausführlich bedeutet das folgendes: (1) Jeder duale Basisvektor a'(i) steht senkrecht auf allen usprünlichen Basisvektoren a(j) mit i ungleich j. (2) Das Skalarprodukt des dualen Basisvektor a'(k) mit dem Basisvektor a(k) mit gleichem Index k ergibt den Wert 1. Anschaulich ist noch folgendes von Bedeutung: Der Spat der von den n ursprünglichen Basisvektoren a(i) aufgespannt wird, hat das reziproke Volumen des Spates, der von den dualen Basisvektoren a'(i) aufgespannt wird. --------------- Beispiel: Gegeben sei folgende Basis des 2-dimensionalen Raumes: a(1)=(3|1) a(2)=(1|2) Die duale Basis lautet: a'(1)=(0,4|-0,2) a'(2)=(-0,2|0,6) Tatsächlich ist die Matrix A, deren Zeilen die Vektoren a(1), a(2) sind, reziprok zur Matrix A', deren Spalten die Vektoren a'(1), a'(2) sind. Weiterhin hat der von a(1), a(2) aufgespannte Spat (=Parallelogramm) den Flächeninhalt A=5 und das von a'(1), a'(2) aufgespannte Parallelogramm den reziproken Flächeninhalt A=1/5, wie es sein muss. -------------- Abschließend sei bemerkt, dass die obigen Betrachtungen etwas komplizierter werden, wenn im Raum gewisse Metriken gelten. Das spielt z.B. in der Geometrie auf gekrümmten Flächen und in der Relativitätstheorie eine Rolle. Aus physikalischer Sicht besteht die Motivation für die Einführung zweier Basen (nämlich ursprünliche Basis und duale Basis) u.a. in der Abkürzung bzw. Vereinfachung von Formeln (kovariante Schreibweise). Oft bezeichnet man die ursprünliche Basis auch als kovariante Basis und die duale Basis als kontravariante Basis. |
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| 04.09.2009, 11:20 | nagato | Auf diesen Beitrag antworten » |
vieln dank für die tolle Erklärung |
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