Bezierkurven: 2.Ableitung=Krümmung?

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nadia.berlin Auf diesen Beitrag antworten »
Bezierkurven: 2.Ableitung=Krümmung?
Ich modelliere mit Bezierkurven. Um in meinem Programm die Krümmung einer solchen Kurve zu bestimmen, schalte ich einen sogenannten Krümmungskamm für die Kurve an. (Siehe Bild)

Eine "Kammborste" ist die Normale ein einem bestimmten Punkt P der Kurve. Die Länge dieser Borste zeigt die Größeder Krümmung an diesem Punkt an. Diese Größe berechnet sich aus 1/R, wobei R der Radius des Kreises ist, der an dem Punkt von der Größe her reinpassen würde. Je stärker die Krümmung also, desto länger die Borste. So weit, so gut.

Jetzt hat mir aber mal jemand gesagt, dass die Bezierkurve eine Funktion ist, von der die 1.Ableitung die Entwicklung der Tangente zeigt und die 2.Ableitung die Entwicklung der Krümmung. Mein Problem ist, wie ich diese beiden Informationen zusammenbringen soll.

Zum Beispiel kann ich eine Bezierkurve 2.Grades erzeugen, die ein Ausschnitt der Funktion f(x) = ist (ne stinknormale Parabel). Dann wäre die 1. Ableitung f´(x) = 2x und die 2.Ableitung f´´(x) = 2. Das heißt doch, die Krümmung wäre konstant(!?) Wenn ich jetzt aber den Krümmungskamm einschalte oder die Kurve mal mit meinem Menschenverstand anschaue, dann sehe ich, dass die größte Krümmung bei x=0 ist und sie dann nach beiden Seiten hin abnimmt.

Welche Definition der Krümmung einer Bezierkurve an einem Punkt ist jetzt richtig??

Vielen Dank,
Nadia
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt schon, dass die Krümmung "im Prinzip" nur von der zweiten Ableitung abhängt. Es wird allerdings vorausgesetzt, dass die Tangentensteigung, also die erste Ableitung, null sein muss. Wenn du zwei Kurven hast und deren Krümmungen in zwei Punkten vergleichen möchtest, müsstest du sie erst so "drehen", dass die Tangenten dort waagerecht wären. Dann würde die 2.Ableitung der (gedrehten) Funktion genau der Krümmung entsprechen.
Für die Drehung selber bräuchtest du die erste Ableitung um die Tangentensteigung auf null zu bringen. Deshalb taucht in der Formel auch die erste Ableitung auf. Wenn diese gleich null ist, ergibt sich die Gleichheit zwischen Krümmung und zweiter Ableitung:

Anmerkung: Zum Vergleich zweier Krümmungen müssen die ersten Ableitungen nicht unbedingt null sein; es reicht aus wenn sie identisch sind. Man kann dann nur die Krümmung k nicht direkt aus der zweiten Ableitung ablesen.
nadia.berlin Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank, Frank! Handelt es sich dabei um die Formel für die extrinsische Krümmung oder die intrinsische Krümmung? Oder spielt das in der Computergrafik gar keine Rolle?
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Es handelt sich um die Krümmung einer zweidimensionalen Kurve. Für die Krümmung einer dreidimensionalen Kurve gibt eine vektorielle Schreibweise.
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