Matix + Eigenraum |
| 06.09.2009, 12:56 | blade22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Matix + Eigenraum Gegeben ist eine Matrix: Charakteristisches Polynom bestimmen: ist somit: und damit ist die algebraische Vielfachheit 3. (Ein Eigenwert) Bestimmung des Kern bzw. Eigenraum: Per Umformunungen kommt man dann hier drauf: Wie kann ich jetzt aus der Gleichung 2x-y-2z=0 (Erste Zeile der Matrix) die Eigenvektoren ablesen? Grüße Blade |
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| 06.09.2009, 13:06 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Matix + Eigenraum [Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren Du musst ein LGS aufstellen und dieses lösen. Nicht nur die Matrix betrachten. |
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| 06.09.2009, 14:25 | blade22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hey danke für die schnelle Antwort, aber die Gleichung 2x-y-2z=0 ist doch die Lösung des Gleichungssystems? |
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| 06.09.2009, 14:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, entschuldige. Sofern du richtig umgeformt hast, lautet also das LGS: Die Lösungen davon sind die Eigenvektoren. Das LGS ist unterbestimmt. du hast 2 freie Parameter. Vergleiche dazu Beispiel 1, dann bekommst du die Eigenvektoren. |
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| 06.09.2009, 15:39 | blade22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das y und z (oder x2 und x3) beliebig sind erkennt man ja schon an den 6 Nullen in der Matrix. Also bleibt nur noch 2x-y-2z=0 zu lösen übrig! Nun kann man natürlich y und z wählen, und damit x bestimmen. Mein Problem ist jetzt nun, welche Dimension (geometische Vielfachheit) hat der Eigenraum ? Ich kann durch die beliebigkeit von y und z ja ziemlich viele Eigenvektoren erzeugen! Ist den jedes x,y,z das die obrige Gleichung erfüllt ein Eigenvektor ? Grüße Blade |
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| 06.09.2009, 17:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sicherlich ist jede Vektor (x,y,z), der das erfüllt ein EV. Aber wieviele linear unabhängige gibt es denn? |
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| 06.09.2009, 18:54 | blade22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun die Frage habe ich mir auch gestellt! Sicher ist das man sich über die beliebigkeit von y und z, ganz sicher schon mal zwei unabhänige machen kann: A=[2,0,2] und B=[2,1,0] aber ich kann mir auch noch einen dritten denken: C=[1,-1,0] der müsste auch unabhänig sein, oder? Leider fehlt mir ein Ansatz um mir unabhänige Vektoren zu berechnen, ist mehr scharfes draufsehen. Kennst du den -1 ergänzungstrick? Grüße Blade |
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| 06.09.2009, 19:02 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir bestimmen hier einen Kern. Die Matrix hat den Rang 1, somit hat der Kern die Dimension 2. Du musst 2 l.u. Vektoren angeben. Der Trick sagt mir nix. Der Weg ist eben über die Freien Parameter, wie in dem Beispiel. |
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| 07.09.2009, 08:12 | blade22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm ok das habe ich verstanden. Aber der Zusammenhang zwischen Kern und Dimension ist mir noch nicht wirklich klar. Klar ist das der Kern die Zeilen sind die zur Lösung "beitragen"(=Rang), bei einer 5x5 mit zwei Nullzeilen ist der Rang 3. Heist das dann auch Automatisch das man 4 Vektoren angeben muss? Grüße Blade |
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| 07.09.2009, 09:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Kern ist der Lösungsraum eines homogenen Gleichungssystem. Die Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis eines Vektorraums.
Wenn der Rang 3 ist, dann besteht die Basis des Kerns bei einer 5x5-Matrix aus 5 - 3 = 2 Vektoren. |
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| 07.09.2009, 10:18 | blade22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Matrix dort hatte ja zwei Nullzeilen, daraus hab ich abgelesen: Wenn eine 3x3 Matrix eine Mullzeile hat, hat sie den Rang 2 und damit 3 l.u. Vektoren? Ist das richtig? |
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| 07.09.2009, 11:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du mußt schon sauber formulieren: Wenn eine 3x3 Matrix eine Nullzeile hat, hat sie den Rang 2 und damit hat der Kern 3 - 2 = 1 linear unabhängige Vektoren. |
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| 07.09.2009, 11:23 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bei endlichen VR: http://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz |
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| 07.09.2009, 12:53 | blade22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also dann nochmal 
.Gegeben ist eine 4x4 Matrix mit zwei Nullzeilen, damit gilt: 4 (Dimension der Matrix)-2 (Rang der Matrix)= 2 (l.u. Vektoren) Hoffe das ich jetzt die Begriffe richtig habe. Grüße Blade |
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| 07.09.2009, 13:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du bist immer noch sehr schnoddrig in deinen Formulierungen. Eine Matrix hat keine Dimension. Den Begriff der Dimension gibt es nur im Zusammenhang mit Vektorräumen. Und rechts heißt es auch nicht "2 (l.u. Vektoren)", sondern "2 = dim(Kern(f))". |
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| 07.09.2009, 13:55 | blade22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Meine ungenaue Formulierung möge man mir entschuldigen. Mir gehts nur um die Eigenwerte und die Eigenräume,also: Wenn ich eine 4x4 Matrix habe, in der nach ein paar Umformungen zwei Nullzeilen entstanden sind. Heist das das, der Eigenraum 2 Dimensionen hat (4-2=2), somit muss ich zwei l.u. Vektoren bestimmen um diesen Eigenraum anzugeben! Hoffe das war jetzt etwas besser ausgedrückt 
Grüße Blade |
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| 07.09.2009, 15:55 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. |
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