lin alg 2: beweis f*=lambda*f <-> f selbstadj. oder antiselbstadj.

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LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »
lin alg 2: beweis f*=lambda*f <-> f selbstadj. oder antiselbstadj.
ich habe probleme mit folgendem beweis:
zeige die äquivalenz von:
i)
ii) f ist selbstadj. oder antiselbstadj.


von i --> ii wäre ja für=1 bzw =-1 klar, da dass ja die def. von selbstadj oder antiselbstadj. ist.

aber von ii) nach i) ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
von i --> ii wäre ja für=1 bzw =-1 klar


Wirklich klar? Die Bedingung ist nur das ein Lambda gibt, nicht das es gleich 1 ist. Du musst aus der Existenz dieses Lambdas erst einmal folgern das es dann auch für die 1 gilt, bzw. das es dann 1 oder -1 sein muss. Diese Begründung gilt aber für ii) => i). Denn durch die Selbstadjungiertheit (oder Anti..) ist Lambda = 1 oder -1 und damit ist die Existenz gezeigt.

Was i) => ii) angeht. Man kanns schön mit dem Skalarprodukt zeigen. Also



Jetzt die Symmetrie des Skalarprodukts ausnutzen, und es steht fast da.
LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »

hey, danke für die schnelle antwort

also könnte der beweis wie folgt aussehen:

i)->ii)
<f(x),x> = <x,f*(x)>=
und für \lambda=1 oder -1
ist f(x) selbstadj oder antiselbst.

ii)-->i)
f selbstadj: f*=f es gibt also lambda=1
f antiselbstadj. f* =-f für lambda=-1 gilt

oder dreh ich mich jetzt im kreis? oder fehlt noch was?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
<f(x),x> = <x,f*(x)>= und für \lambda=1 oder -1 ist f(x) selbstadj oder antiselbst.


Du drehst hier wieder die Richtungen um. Du sollst nicht lambda = 1 oder lambda = -1 einsetzen. Du sollst zeigen, dass Lambda = 1 und Lambda = -1 die einzigen Möglichkeiten sind.

edit :

es gibt ein kleines Update, es macht mehr Sinn für i) => ii)



zu betrachten.
LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »

aso stimmt, also
WEIL
=1 oder -1 sein

nun zur zweiten version:
welche vorteile bringt die? eigentlich ist es doch aus der ersten version ersichtlicher, dass so ein lambda existiert und dies 1 sein muss.
oder hat man dann zuviel angenommen wenn man mit <f(x),x> anfängt statt <f(x),y>
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
=1 oder -1 sein


Das ist falsch. Aus folgt entweder f = 0 und lambda beliebig, oder lambda = 1 und f ungleich 0. Bei f(x) = -f(x) sollte Dir klar sein das dass nur für f = 0 geht. D.h Du würdest die Aussage der Antiselbstadjungiertheit komplett unter den Teppich kehren.

Zitat:
nun zur zweiten version: welche vorteile bringt die? eigentlich ist es doch aus der ersten version ersichtlicher, dass so ein lambda existiert und dies 1 sein muss.


Diese "zweite" Version ist im Gegensatz zu obigem ein richtiger Beweis.
 
 
LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ja jetzt seh ichs,
sorry, dass ich hier so aufm schlauch stehe, aber ich glaub jetzt hab ichs verstanden:


aus
folgt, dass es ein lambda gibt und dieses 1 oder -1 sein muss.
und dies in die voraussetzung eingesetzt ergibt dann f*=f für lambda=1 bzw f*=-f für lambda=-1
also selbstadj oder antiselbstadj.

ist das dann vollständig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aus folgt, dass es ein lambda gibt und dieses 1 oder -1 sein muss. und dies in die voraussetzung eingesetzt ergibt dann f*=f für lambda=1 bzw f*=-f für lambda=-1 also selbstadj oder antiselbstadj. ist das dann vollständig?


Im Prinzip richtig. Nur einige Formulierungsachen das hier

Zitat:
dass es ein lambda gibt und dieses 1 oder -1 sein muss


Ist fast richtig. Das es dieses Lambda gibt wissen wir doch schon, da wir i) annehmen. Aber das es 1 und -1 sein muss ist richtig. Kleine Zusatzfrage, warum kommt hier bei



die Tatsache nicht in Frage ? (wenn man f != 0 annimmt).
LiLaLauneBär Auf diesen Beitrag antworten »

da komm ich jetzt irgendwie nicht drauf,
aber <0,y> ist doch 0, wenn f=0 oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Begründung ist folgende



Dann wähle einfach mal und y != 0. Dieses x gibt es da f != 0. Dann ist natürlich

(Skalarprodukt ist positiv definit)

Und da die Gleichung oben für alle x und y gilt, kann lambda nur -1 und 1 sein.
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