lin alg 2: beweis f*=lambda*f <-> f selbstadj. oder antiselbstadj. |
07.09.2009, 14:09 | LiLaLauneBär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
lin alg 2: beweis f*=lambda*f <-> f selbstadj. oder antiselbstadj. zeige die äquivalenz von: i) ii) f ist selbstadj. oder antiselbstadj. von i --> ii wäre ja für=1 bzw =-1 klar, da dass ja die def. von selbstadj oder antiselbstadj. ist. aber von ii) nach i) ? |
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07.09.2009, 14:26 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wirklich klar? Die Bedingung ist nur das ein Lambda gibt, nicht das es gleich 1 ist. Du musst aus der Existenz dieses Lambdas erst einmal folgern das es dann auch für die 1 gilt, bzw. das es dann 1 oder -1 sein muss. Diese Begründung gilt aber für ii) => i). Denn durch die Selbstadjungiertheit (oder Anti..) ist Lambda = 1 oder -1 und damit ist die Existenz gezeigt. Was i) => ii) angeht. Man kanns schön mit dem Skalarprodukt zeigen. Also Jetzt die Symmetrie des Skalarprodukts ausnutzen, und es steht fast da. |
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07.09.2009, 14:47 | LiLaLauneBär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hey, danke für die schnelle antwort also könnte der beweis wie folgt aussehen: i)->ii) <f(x),x> = <x,f*(x)>= und für \lambda=1 oder -1 ist f(x) selbstadj oder antiselbst. ii)-->i) f selbstadj: f*=f es gibt also lambda=1 f antiselbstadj. f* =-f für lambda=-1 gilt oder dreh ich mich jetzt im kreis? oder fehlt noch was? |
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07.09.2009, 15:24 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du drehst hier wieder die Richtungen um. Du sollst nicht lambda = 1 oder lambda = -1 einsetzen. Du sollst zeigen, dass Lambda = 1 und Lambda = -1 die einzigen Möglichkeiten sind. edit : es gibt ein kleines Update, es macht mehr Sinn für i) => ii) zu betrachten. |
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07.09.2009, 15:41 | LiLaLauneBär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aso stimmt, also WEIL =1 oder -1 sein nun zur zweiten version: welche vorteile bringt die? eigentlich ist es doch aus der ersten version ersichtlicher, dass so ein lambda existiert und dies 1 sein muss. oder hat man dann zuviel angenommen wenn man mit <f(x),x> anfängt statt <f(x),y> |
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07.09.2009, 15:48 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist falsch. Aus folgt entweder f = 0 und lambda beliebig, oder lambda = 1 und f ungleich 0. Bei f(x) = -f(x) sollte Dir klar sein das dass nur für f = 0 geht. D.h Du würdest die Aussage der Antiselbstadjungiertheit komplett unter den Teppich kehren.
Diese "zweite" Version ist im Gegensatz zu obigem ein richtiger Beweis. |
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07.09.2009, 16:05 | LiLaLauneBär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, ja jetzt seh ichs, sorry, dass ich hier so aufm schlauch stehe, aber ich glaub jetzt hab ichs verstanden: aus folgt, dass es ein lambda gibt und dieses 1 oder -1 sein muss. und dies in die voraussetzung eingesetzt ergibt dann f*=f für lambda=1 bzw f*=-f für lambda=-1 also selbstadj oder antiselbstadj. ist das dann vollständig? |
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07.09.2009, 16:14 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Prinzip richtig. Nur einige Formulierungsachen das hier
Ist fast richtig. Das es dieses Lambda gibt wissen wir doch schon, da wir i) annehmen. Aber das es 1 und -1 sein muss ist richtig. Kleine Zusatzfrage, warum kommt hier bei die Tatsache nicht in Frage ? (wenn man f != 0 annimmt). |
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07.09.2009, 16:44 | LiLaLauneBär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da komm ich jetzt irgendwie nicht drauf, aber <0,y> ist doch 0, wenn f=0 oder? |
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07.09.2009, 18:28 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, die Begründung ist folgende Dann wähle einfach mal und y != 0. Dieses x gibt es da f != 0. Dann ist natürlich (Skalarprodukt ist positiv definit) Und da die Gleichung oben für alle x und y gilt, kann lambda nur -1 und 1 sein. |
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