[Eigenwert] Multiplikation von Matrix und Eigenvektor

07.09.2009, 18:35	h.ingo	Auf diesen Beitrag antworten »
[Eigenwert] Multiplikation von Matrix und Eigenvektor Hallo Leute, habe hier eine Aufgabe bei der ich eine Matrix (3x3) und einen Eigenvektor (3x1) gegeben habe. Als Lösung ist hierbei angegeben das die Multiplikation von Matrix und Eigenvektor den Eigenwert X ergibt. Rechne ich den Eigenwert der Matrix ohne den Eigenvektor aus, komme ich auch auf dieses besagte X. Jetzt stellt sich bei mir die Frage, wie ich aus dem Vektor der durch die Multiplikation entsteht, den Eigenwert herausfinden kann? Gruß
07.09.2009, 18:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Eigenwert] Multiplikation von Matrix und Eigenvektor Also bei EV und EW gilt: $\begin{eqnarray} Av=\lambda v \end{eqnarray}$ Wie soll denn da nur der Eigenwert rauskommen? Gib doch mal die ganze Aufgabe an. EW sind übrigens die Nullstellen des char. Polynoms.
07.09.2009, 18:50	h.ingo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist Eigenvektor von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -4 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wie lautet der Eigenwert? Lösung (laut Prof.): Multiplikation von Matrix und Vektor zeigt, dass der Eigenwert 8 ist.
07.09.2009, 18:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo. Das hier ja einfach. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -4 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \begin{pmatrix} 16 \\ -16 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann Klammert man eben noch 8 aus und schwupps steht es schon da. fertig. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -4 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =8 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ansonsten, ohne den EQ zu kennen, hätte man eben erkannt, dass man um die EW/EV-Gleichung $\begin{eqnarray} Av=\lambda v \end{eqnarray}$ zu bekommen in der ersten Komponente 8 ausklammern muss, um im Vektor wieder die 2 zu erhalten. Fertig. edit: btw.
07.09.2009, 18:58	h.ingo	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh nein wie dumm von mir :-) Aber trotzdem vielen Dank!
07.09.2009, 19:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal ist die Lösung eben zu einfach. Weiter viel Erfolg.
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