Definition zu Primzahlen

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Risuku Auf diesen Beitrag antworten »
Definition zu Primzahlen
Hallo,
heute im Vorkurs Mathematik wurde die Primzahl definiert. Hatte das so aufgeschrieben:

heißt Primzahl (PZ) <=> => oder

Um zu prüfen ob ich mich da irgendwie verschrieben habe bzw es richtig verstehe frage ich mal hier nach:

Es wurden 2 Beispiele genannt:

6|12 bzw 6|3*4

6 teilt weder die 3 noch die 4. Wäre das eine Begründung das 6 keine Primzahl ist?

3|30 bzw 3|6*5

3 teilt die 6. Soll das der Hinweis darauf sein das 3 eine Primzahl ist?

Oder hab ich diese Definition (?) komplett falsch verstanden?

lg
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition zu Primzahlen
Zitat:
Original von Risuku
Hallo,
heute im Vorkurs Mathematik wurde die Primzahl definiert. Hatte das so aufgeschrieben:

heißt Primzahl (PZ) <=> => oder

Um zu prüfen ob ich mich da irgendwie verschrieben habe bzw es richtig verstehe frage ich mal hier nach:

Es wurden 2 Beispiele genannt:

6|12 bzw 6|3*4

6 teilt weder die 3 noch die 4. Wäre das eine Begründung das 6 keine Primzahl ist?


Ja.

Zitat:
3|30 bzw 3|6*5

3 teilt die 6. Soll das der Hinweis darauf sein das 3 eine Primzahl ist?



Ja, das ist ein Hinweis, aber noch kein Beweis, da die 30 eventuell eine andere Zerlegung haben könnte, für die die Folgerung falsch ist.
Risuku Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt spontan keine andere Zerlegung ein. Zumindest aus Z nicht. Oder meinst du wenn man es in mehrere kleinere Teile zerlegt? 2*3*5 zB? Naja der Kursleiter hatte es leider nur so wie ich oben aufgeschrieben. Gibts dazu noch einen kleinen Zusatz zum Beweis oder ist das dann ein ganz anderes Verfahren?

lg
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

a und b sind in deiner Definition nicht gebunden, ein klarer Hinweis dass die Definition falsch ist.

Damit es richtig wird sollte man noch für alle a und b hinschreiben.

Die Definition ist übrigens nicht sehr gut geeignet zu zeigen dass eine Zahl eine Primzahl ist. Dazu zeigt man lieber die Äquivalenz zu der Definition a | p => a=1 oder a=p
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition zu Primzahlen
Zitat:
Original von Risuku
Hallo,
heute im Vorkurs Mathematik wurde die Primzahl definiert. Hatte das so aufgeschrieben:

heißt Primzahl (PZ) <=> => oder


Nach dieser Definition wären dann auch ganze Zahlen wie -2, 0 und 1 Primzahlen, also stimmt da was nicht.

Ferner ist sie zum Nachweis der Primzahleigenschaft denkbar ungeeignet, aber das wurde ja schon gesagt... Bast du sicher, dass das eine Definition und kein Satz über Primzahlen war?
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition zu Primzahlen
test:
p=4
a*b=72

=> 4 ist primzahl
geschockt
 
 
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition zu Primzahlen
Zitat:
Original von Nubler
test:
p=4
a*b=72

=> 4 ist primzahl
geschockt


verwirrt
Risuku Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition zu Primzahlen
Zitat:
Original von papahuhn
Zitat:
Original von Nubler
test:
p=4
a*b=72

=> 4 ist primzahl
geschockt


verwirrt


Glaub der Smiley soll zeigen das er meint das es wohl auch nicht stimmt... Wie dem auch sei. Frag beim nächsten mal den Tutor nochmal. Danke für die Antworten.

lg
heinzelotto Auf diesen Beitrag antworten »

Definier dir eine Primzahl lieber als eine Zahl, die genau zwei (positive) Teiler hat: die 1 und sich selbst. Dann kannst du dir das obige als Satz herleiten (wenn auch in etwas abgewandelter, 'richtigerer' Form smile )
Ivan33 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition zu Primzahlen
Zitat:
Original von Risuku
Hallo,
heute im Vorkurs Mathematik wurde die Primzahl definiert. Hatte das so aufgeschrieben:

heißt Primzahl (PZ) <=> => oder


Nun, die Definition ist etwas falsch formuliert. Ich ergänze mal etwas dazu:

Eine Nichteinheit heißt prim, falls für alle a und b gilt:

Zitat:

6|12 bzw 6|3*4

6 teilt weder die 3 noch die 4. Wäre das eine Begründung das 6 keine Primzahl ist?

3|30 bzw 3|6*5

3 teilt die 6. Soll das der Hinweis darauf sein das 3 eine Primzahl ist?

Ja und ja.

Zitat:

test:
p=4
a*b=72

=> 4 ist primzahl

Es soll für alle a und b gelten.

Test:
p = 4

=> 4 ist nicht prim.
Ivan33 Auf diesen Beitrag antworten »
Warum 0 und Einheiten nicht prim sind
Der Begriff "Primzahl" kommt von lat. primus (...a, ...um) = erster (...e, ...es). Eine Primzahl ist also die erste Zahl bzw. die erste Zahl die eine Zahl teilt oder noch genauer, die erste Zahl die der Faktor einer Zahl ist. Dabei sind positive Zahlen auch prim, auch wenn man sich nicht auf die negativen Zahlen beschränkt. Die erste positive Zahl zählt also auch als erste Zahl. Im Folgenden gehen wir von ganzen Zahlen aus. Wieso ist 0 nicht prim? Wenn 0 prim wäre, gäbe es keine Primzahlen, da keine Zahl außer 0 selbst 0 als Faktor hat. Wieso Einheiten nicht prim sind, hat einen anderen Grund. Nach ursprünglicher Definition waren Einheiten prim, aber da alle Zahlen außer Einheiten unzerlegbar sind, hat man beschlossen, Primzahlen als irreduzible (unzerlegbare) Zahlen zu definieren. Da sich Einheiten in sich selbst zerlegen lassen, sind sie also nicht prim.

Ach ja: Deine Definition gilt korrekterweise nicht für 0, da 0 = 0 0 und beide Faktoren nicht durch 0 teilbar sind. Es sei denn mit "a ist teilbar durch b" ist "a hat b als Faktor" gemeint.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum 0 und Einheiten nicht prim sind
Zitat:
Original von Ivan33
Ach ja: Deine Definition gilt korrekterweise nicht für 0, da 0 = 0 0 und beide Faktoren nicht durch 0 teilbar sind. Es sei denn mit "a ist teilbar durch b" ist "a hat b als Faktor" gemeint.


0 ist nicht durch 0 teilbar? Seit wann ist das so? verwirrt

Ich hoffe du verwechselst das nicht mit einer Division durch 0, die klarerweise nicht definiert ist...
Ivan33 Auf diesen Beitrag antworten »

Division kommt von dividieren (teilen). Folglich heißt teilbar "sich dividieren lassend". Zumindest gemäß Wortbildung. Falls der Begriff in der gebräuchlichen Mathematik etwas anderes bedeutet, habe ich mich wohl geirrt. Falls nicht, dann beweise ich mal auf ganz einfache Weise, weshalb 0 nicht durch 0 teilbar ist:

0 = 0 0 = 0 1
0 = 1

Wir kommen durch die Division durch 0 von 0 auf einen Fehlschluss.
Folgerung: 0 ist nicht durch 0 teilbar.

Wie gesagt:
Zitat:
Es sei denn mit "a ist teilbar durch b" ist "a hat b als Faktor" gemeint.


0 hat 0 als Faktor, aber diesen Faktor kann man nicht wegnehmen, da bei der Wegnahme des Faktors eine beliebige Zahl übrig bleibt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Falls das mit deinen 12 Jahren stimmt, bist du sicher ein aufgeweckter Bursche - aber durch solche Besser-wissen-wollen-Anfälle wie den eben, oder vor ein paar Wochen mit den Folgen, reitest du dich immer wieder in die Bredouille. Richtig ist:

Zitat:
Man nennt eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl teilbar, falls es eine ganze Zahl mit gibt. In dem Fall sagt man auch, dass ein Teiler von ist.

Nach dieser Definition ist völlig klar, dass 0 tatsächlich ein Teiler von 0 ist.
Ivan33 Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent Ich habe "gemäß Wortbildung" gesagt und darauf hingewiesen, dass dieser Begriff in der gebräuchlichen Mathematik etwas anderes bedeuten könnte.

Einige Quellen die sich mir anschließen:

- http://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit
- Wolfram|Alpha (gibt bei "0 is divisible by 0" keine Antwort, im Gegensatz zu "4 is divisible by 2")
- Duden (definiert teilbar als "sich teilen lassend")
Und, ohne zu übertreiben, viele andere.

Hast du für deine Aussage eine Quelle? Deine Definition ist meiner Meinung nach eine falsche Umschreibung für "sich teilen lassend". Manche denken nämlich, dass a b = c gilt, wenn c/b = a gilt, weil die Division das Gegenteil von der Multiplikation ist. Aber das trifft eben nicht für c, b = 0 zu. Man definiert sogar a/0 = unendlich für reelle positive oder negative a, obwohl sich diese Gleichung nicht in unendlich 0 = a umschreiben lässt (ist in MathWorld nachzulesen).

Ein anderes Beispiel für eine falsche Definition dieser Art: prim - nur durch 1 und sich selbst teilbar

Diese Definition findet man sehr oft im Internet.

"aber durch solche Besser-wissen-wollen-Anfälle wie den eben, oder vor ein paar Wochen mit den Folgen,"

Falls du meine Aussage meinst, die behauptet, dass es das nullte Folgeglied nicht gibt, so muss ich mich etwas korrigieren: Es gibt den nullten Folgeglied nicht in der Realität, es sei denn man definiert eine Folge mit dem Bildungsgesetz (schlechtes Beispiel aber egal) mit n=0,1,2,3,4,... - also dass der Anfangswert von n die 0 ist. Aber das muss man halt schon angeben. Dann kann man beispielsweise sagen, dass der Montag der nullte Wochentag ist. - Besser?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es mag Leute geben, die in der obigen Definition explizit verbieten, andere tun das nicht (in dem verlinkten Wikipedia-Artikel wird auf diesen Umstand hingewiesen), ich kenne und befürworte letztere Variante.

Jedenfalls ist es unüblich, die Teilbarkeit über Division zu definieren, einfach deshalb, weil man diesen Begriff auch in Ringen verwenden möchte, nicht nur in Körpern.


Zitat:
Original von Ivan33
Es gibt den nullten Folgeglied nicht in der Realität

Du pflegst einen sehr archaischen Argumentationsstil:

Statt ausschließlich auf mathematische Definitionen sowie Logik zu bauen, flechtest du immer wieder so Sachen ein wie "in der Realität" oder "im Duden steht". Das solltest du dir abgewöhnen, wenn du auch weiterhin ernst genommen werden willst.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal gebe ich Arthur in allen Punkten recht, insbesondere darin, dass die Teilbarkeit über eine Multiplikation und nicht über eine Division definiert ist. Und das nicht zuletzt deshalb, weil die Multiplikation für alle Zahlenpaare definiert ist, die Division aber eben nicht, nämlich dann nicht, wenn der Divisor 0 ist, also genau der Fall der hier Probleme macht.

Und ja, es mag Leute geben, die meinen, es wäre besser, die 0 nicht als Teiler von 0 zuzulassen, offenbar weil sie ebenfalls immer eine Division im Hinterkopf haben... Und speziell in Wikipedia bekommen dann auch solche Verrückte gelegentlich mehr Raum, als ihnen eigentlich zusteht...Ich jedenfalls kenne keinen einzigen Grund, der dafür sprechen würde...
Ivan33 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
flechtest du immer wieder so Sachen ein wie "in der Realität" oder "im Duden steht". Das solltest du dir abgewöhnen, wenn du auch weiterhin ernst genommen werden willst.


Jetzt geht diese ewige Diskutiererei schon wieder los. Ich habe gesagt, dass 0 nicht durch 0 teilbar ist und gleich darauf kommen 7 Kommentare dazu (wenn ich meine auch mitzähle). Ist das normal?

Zuerstmal zu dem nullten Folgeglied:
Ich meinte damit, dass man mit diesen Sachen rechnen kann, aber es diese Sachen nicht in der Realität gibt. Beispielsweise existieren in der Realität keine negativen Mengen. Man kann damit rechnen, aber es gibt beispielsweise keine -2 Äpfel (es ist ein Fehler hier von der Realität zu labern, aber egal). Was du gegen Duden hast, ist mir unklar. Für mich ist Duden bei den meisten Fällen, eine vertrauenswürdige Quelle, aber ich habe schon Fehler im Duden entdeckt (beispielsweise definiert Duden ein Kilobyte als eine Einheit von 1 024 Byte, obwohl Kilo- eine dezimale Vorsilbe ist und daher 1 000 entspricht).

Und nun zur Teilbarkeit:
Das Wort "Teilbarkeit" bezieht sich auf das Teilen. Also finde ich es sehr sinnvoll, die Teilbarkeit mit der Division zu definieren. Ich habe nichts dagegen, wenn du das Wort anders definierst. Ich habe ja nicht umsonst "gemäß Wortbildung" und "Es sei denn mit "a ist teilbar durch b" ist "a hat b als Faktor" gemeint." gesagt. Ein Wort kann im Sprachgebrauch mehrere Bedeutungen haben. Das Wort Läufer hat z.B. 24 Bedeutungen, was Schüler des Finsterwalder-Gymnasiums in Rosenheim rausgefunden haben. Und das Wort "teilbar" hat eben 2 Bedeutungen. Ich habe diese im Beitrag aufgeführt. Wo liegt nun das Problem?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Das solltest du dir abgewöhnen, wenn du auch weiterhin ernst genommen werden willst.

Offensichtlich willst du nicht. Na dann viel Spaß, wirst bestimmt mal ein großer Rhetoriker - für mich bist du mit deiner fortwährenden Chewbacca-Argumentation gestorben. Wink
Ivan33 Auf diesen Beitrag antworten »

Von mir aus, dann betrachte mich eben als Rhetoriker.

Aber deine Diskussion ist chewbaccamäßiger als meine, denn du hast sie grundlos angefangen.

Du hast selbst gesagt, dass es Leute gibt, die die Teilbarkeit mit der Division definieren. Damit widersprichst du mir nicht, dass das Wort "teilbar" im deutschen Sprachgebrauch 2 Bedeutungen hat, die ich, wie bereits gesagt, im Beitrag aufgeführt habe. Und trotzdem diskutierst du rum. Und jetzt redest du auch noch über Rhetorik. Wieso du das tust, willst du mir leider nicht sagen. Naja, Leute gibt's. Wenn dir das gefällt, dann viel Spaß.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ivan33

Jetzt geht diese ewige Diskutiererei schon wieder los. Ich habe gesagt, dass 0 nicht durch 0 teilbar ist und gleich darauf kommen 7 Kommentare dazu (wenn ich meine auch mitzähle). Ist das normal?


Eigentlich schon. Speziell dann, wenn es sich um so kontroversielle Aussagen geht, wie 0 ist nicht Teiler von 0. Immerhin lesen das hier auch viele Schüler und daher sollte das, was du da von dir gibst, hier nicht unwidersprochen bleiben...

Zunächst einmal kann eine Definition (wie hier die der Teilbarkeit) prinzipiell niemals richtig oder falsch, sondern nur mehr oder weniger sinnvoll sein. Bei deiner Definition (mit Hilfe der Division) wäre 0 nicht Teiler von 0, da eben die Division 0:0 nicht ausführbar ist, bei Arthur's und meiner, ich möchte sagen üblichen, Definition ist 0 sehr wohl Teiler von 0, da es eben eine ganze Zahl c gibt, sodass . Wie ich dieses c erhalte, durch Raten, einen Algorithmus oder sonstwie, ist dabei egal, solange eben gilt .

Welche dieser beiden Definitionen ist nun die sinvollere, denn allein darum geht es und nicht um "umgangsprangliche Bedeutungen" von teilbar, die haben hier keinen Platz...

Ich nenne hier ein paar Sätze und habe die häßliche Ergänzungen oder Ersetzungen, die notwendig werden, wenn man die 0 als Nullteiler aussschließt in eckigen Klammern gegeben:

Satz1: Im Restklassenring ist jedes Element entweder Nullteiler oder invertierbar [oder 0].

Satz2: Im Restklassenring bilden die Nullteiler [zusammen mit 0] ein Ideal.

Satz 3: Sämtliche Kongruenzrelationen auf werden erhalten indem man für ein [m >0] definiert



[ausgenommen die identische Relation].

Es gäbe noch viele Beispiele dieser Art, aber wenn diese dich noch nicht überzeugen hätte es auch keinen Sinn noch weitere anzuführen...
Ivan33 Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Beitrag zweifle ich nicht an. Arthur Dents aber schon. Er hat versucht in den Mittelpunkt zu stellen, dass die Teilbarkeit nur eine Definition hat. Du dagegen hast gesagt, dass eine Definition "niemals richtig oder falsch, sondern nur mehr oder weniger sinnvoll sein" kann. Dass meine Definition sinnvoller ist als deine war nur meine eigene Empfindung. Dass deine in der Mathematik üblicher ist, habe ich niemals angezweifelt.

Betrachte bitte nochmals diesen Ausschnitt:
Zitat:
Division kommt von dividieren (teilen). Folglich heißt teilbar "sich dividieren lassend". Zumindest gemäß Wortbildung. Falls der Begriff in der gebräuchlichen Mathematik etwas anderes bedeutet, habe ich mich wohl geirrt.


Wo siehst du hier die Stelle, in der ich gesagt habe, dass meine Definition üblicher ist als deine? Viel Spaß beim Suchen.

Betrachte dagegen Arthur Dents Aussage:
Zitat:
Richtig ist:
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Er hat versucht in den Mittelpunkt zu stellen, dass die Teilbarkeit nur eine Definition hat.


Dazu Arthur Dents Beitrag

Zitat:
Es mag Leute geben, die in der obigen Definition explizit verbieten, andere tun das nicht (in dem verlinkten Wikipedia-Artikel wird auf diesen Umstand hingewiesen), ich kenne und befürworte letztere Variante. Jedenfalls ist es unüblich, die Teilbarkeit über Division zu definieren, einfach deshalb, weil man diesen Begriff auch in Ringen verwenden möchte, nicht nur in Körpern.


Er sagt eindeutig das es unüblich ist, und nicht dass es nur eine einzige Definition gibt. Was Dein Zitat von Arthur Dent angeht, ein klassischer Fall von herauslösen von Aussagen aus dem Zusammenhang. Wenn, dann solltest Du alles zitieren. Und dann würde dir auch der Satz

Zitat:
Nach dieser Definition ist völlig klar, dass 0 tatsächlich ein Teiler von 0 ist.


nicht entgehen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Halten wir also nochmals fest, dass es nur darum geht, welche Definition von Teilbarkeit die sinnvollere ist und dass sich auch Arthur, wie Mazze oben eindrucksvoll belegt, dieser Tatsache voll bewußt war. Hier noch ein weiteres schönes Beispiel, warum 0 Teiler von 0 sein sollte:

Im Ring der ganzen Zahlen existiert zu beliebigen der ggT(a,b) [ ausgenommen für a=b=0!!!]

Die mathermatische Landschaft wäre also übersät mit Schlaglöchern (um nicht zu sagen Bombenkratern), würde man die 0 nicht als Teiler von 0 zulassen...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze & Mystic

Es hat keinen Sinn mit dem Kerl - ich hatte hier so wenig Geduld, weil er mir schon in dem Folgen-Thread den letzten Nerv geraubt hat, er lief sozusagen auf "Bewährung", die er voll vermasselt hat.

Wie Mystic schon andeutete, gibt es sicherlich einen auch vom Alltag und Beispielen beeinflussten Prozess einer Definitionsbildung, da stimme ich uneingeschränkt zu. Ist dann diese Definition aber getätigt, dann ist bei der Frage "Ist 0 ein Teiler von 0?" nur diese Definition maßgeblich, und nicht irgendwelche Alltagsbeispiele wie Äpfel oder Wochentage oder Duden oder Gott und die Welt... Und genau das ist es, was Ivan33 partout nicht einsehen will: Wie ein schleimiger Anwalt versucht, das Gesetz umzubiegen im Sinne seiner Sache, so versucht Ivan33 nach dem Prinzip "verbale Masse schlägt Klasse" durch jede Menge fragwürdige Beispiele die Definition durch die Hintertür aufzuweichen und umzuschreiben. Ich jedenfalls finde dieses Gelaber unerträglich, und deshalb gebe ich Ivan33 auch so Kontra. Dass ihn das so anstinkt, dass er jetzt, wie von Mazze erwähnt, meine Beiträge durch Wortverdrehen umdeuten will, wundert mich kein bisschen - passt in das "Anwaltsbild", was ich von ihm habe.
Ivan33 Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze Ok, dann hat Arthur Dent auch recht. Aber seinem Gelaber gebe ich natürlich Kontra, denn er hat mir zugestimmt und diskutiert trotzdem rum. Ich habe gesagt, dass das Wort 2 Bedeutungen hat und er sagt, dass es Leute gibt, die in der obigen Definition b = 0 verbieten. - Das ist die 2. Bedeutung. Und du (@Arthur Dent) hast trotzdem unnötig rumdisktiert. Und dann sagst du auch noch, dass meine Argumentationen Chewbacca-Argumentationen sind. Hallo?! Das macht einfach keinen Sinn!

Dass deine Definition unüblich ist, habe ich niemals gesagt. Du kannst sagen, dass deine Definition üblicher ist, was du auch getan hast. Aber du widersprichst mir damit nicht und trotzdem gibst du mir unrecht. Dies beweist mein Zitat und die Stelle wo du das Wort "Chewbacca-Argumentation" genannt hast. Wie gesagt macht das keinen Sinn. Zeig mir die Stelle wo ich dir widersprochen habe! Du wirst sie nicht finden, weil sie nicht existiert.

Zitat:
Deine Definition ist meiner Meinung nach eine falsche Umschreibung für "sich teilen lassend".
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

fröhlich
Ivan33 Auf diesen Beitrag antworten »

@papahuhn Du kannst gehen, die Diskussion ist bereits beendet.

Arthur Dent stimmt mir zu, dass das Wort "teilbar" 2 Bedeutungen hat. Ich zweifle nicht an, dass seine Definition sinnvoller ist als meine. - Wieso er jetzt noch weiter diskutiert ist fraglich. Ich habe jedenfalls genug.
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