Volumenverhältnisse

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nutcore Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenverhältnisse
Guten Morgen,

ich habe grosse Probleme mit einigen Stereometrie Aufgaben. Für rasche Abhilfe wäre ich dankbar.

1.) Einer Kugel wird ein regelmässiges Tetraeder einbeschrieben. Wie gross ist das Volumenverhältnis der Kugel zum regelmässigen Tetraeder?

2.) Einer Kugel wird ein regelmässiges Tetraeder umschrieben. Wie gross ist das Volumenverhältnis der Kugel zum regelmässigen Tetraeder?

3.) Einem Würfel wird ein regelmässiges Oktaeder einbeschrieben. Wie gross ist das Volumenverhältnis des Würfels zum regelmässigen Oktaeder?

4.) Einem Würfel wird ein regelmässiges Oktaeder umschrieben. Wie gross ist das Volumenverhältnis des Würfels zum regelmässigen Oktaeder?

5.) Eine Kugel mit Radius r hat die gleiche Oberfläche wie ein regelmässiges Oktaeder. Wie gross ist das Volumenverhältnis der Kugel zum regelmässigen Oktaeder?
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenverhältnisse
Wuerfel2Oktaeder-Konstruktion,
Das Maß des Oktaeders in meiner unteren Zeichnung ist 50* Wurzel aus 2
Die Berechnung ist doch relativ einfach.
1.) Das Volumen eines Würfels berechnen, (Ich habe die Kantenlänge 100mm gewählt)
2.) Der Oktaeder besteht doch aus 2 quadratischen Pyramiden, das Volumen einer Pyramide berechnen. Zur Kontrolle habe ich sogar ein Maß davon eingetragen. Die Seitenlängen bestimmst du mit dem Pythagoras...
Die Konstruktion habe ich im Jahr 2003 gemacht, wie daraus hervorgeht.

Du musst das Bild anklicken, dann wird es größer !!
nutcore Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenverhältnisse
Vielen Dank für die Bilder, aber wie lauten bitte die Formeln?
nutcore Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenverhältnisse
Besten Dank, hat mir wirklich weitergeholfen, aber wie geht es mit der Kugel und dem Tetraeder?
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenverhältnisse
Versuche erst mit dieser Zeichnung weiter zu kommen
Überlege mal, wie du den Inkreisradius berechnen kannst, ebenso auch den Umkreisradius, dann kommst du den Lösungen gleich viel näher
Die Höhe des Dreiecks ist mit Pythagoras leicht zu bestimmen.
Die 3 Höhen schneiden sich im Schwerpunkt. Der längere Teill der Höhe ist, wie man sieht, identisch mit dem Radius des Umkreises. Der kürzere Teil ist identisch mit dem Radius des inneren Kreises. Betrachte die Kreise in Zusammenhang mit den Kugeln, usw.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenverhältnisse
zur besseren übersicht smile

(ich muß jetzt weg und helfe dir später unglücklich )
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Aufgabe mit dem Tetraeder gibt es einen Trick. Man kann nämlich das Tetraeder aus den Seitendiagonalen eines Würfels herstellen. Da es nur auf das Verhältnis der Volumina ankommt, kann man dafür sogar den Einheitswürfel nehmen.
Legen wir den Einheitswürfel in ein -Koordinatensystem, so daß die acht Punkte



seine Ecken sind. Dann bilden zum Beispiel die Punkte



die Ecken eines regulären Tetraeders. Die Kanten des Tetraeders sind Seitendiagonalen im Würfel. Mache dir dazu eine Skizze. Verwende Farben.

Das Volumen des Würfels ist . Das Tetraedervolumen erhält man aus dem Würfelvolumen durch Subtraktion von vier einfachen Pyramidenvolumina. Die Umkugel des Tetraeders ist zugleich die Umkugel des Würfels. Der Mittelpunkt der Kugel hat einfache Koordinaten. Aus diesen erhält man sofort den Radius der Kugel und somit schließlich auch das Umkugelvolumen .

Die Inkugel des Tetraeders hat auch den Mittelpunkt . Der Radius der Inkugel ist der Abstand von zu einer Seitenfläche des Tetraeders. Das ist zugleich der Abstand von zum Schwerpunkt der Seitenfläche. Für die Schwerpunktberechnung gibt es aber in der Analytischen Geometrie eine einfache Formel.
nutcore Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenverhältnisse
Hallo,

ich habe inzwischen die Formeln für Inkugel- und Umkugelradius in Wikipedia gefunden bei dem Artikel über Tetraeder, ich habe diese Formeln in Abhängigkeit von r umgeformt und ins Verhältnis zum Volumen der Kugel gesetzt, bin leider jedoch trotz längerem Probieren micht auf die angegebene Lösung gekommen ( 125 Pi / 54) bei 1. und (Wurzel (3) * Pi )/144 bei 2.

Was mache ich falsch?

Beste Grüsse

Nutcore
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