x^2+4y=m^2, y^2+5x=n^2

23.09.2006, 22:42

Mike89

x^2+4y=m^2, y^2+5x=n^2

Ich muss alle natürlichen x und y finden, für die $\begin{eqnarray*} x^{2}+4y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^{2}+5x \end{eqnarray*}$ Quadrate von natürlichen Zahlen sind (nicht unbedingt die gleiche Zahl). Ich weiss überhaupt nicht, wie ich das machen soll. Bitte um Hilfe smile

23.09.2006, 22:57

therisen

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Zum Beispiel liefert $\begin{eqnarray*} (x,2x^2) \end{eqnarray*}$ stets eine Quadratzahl bei $\begin{eqnarray*} x^2+4y \end{eqnarray*}$ . Woher hast du diese Aufgabe denn? Sieht nach einem Mathewettbewerb aus. Wir wollen ja nicht mogeln Augenzwinkern

Gruß, therisen

24.09.2006, 22:58

Mike89

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Ja, das ist ein Mathewettbewerb, Russland 1982/83.
Wie soll man so was überhaupt Anfangen? Meine Lehrerin meinte, dass es am besten wäre einige Lösungen zu finden und dann beweisen, dass es keine anderen gibt, aber bis jetzt hab ich nur (1,2) gefunden, das hilft mir nicht viel...

24.09.2006, 23:22

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Einige der offensichtlichsten Lösungen sind wohl $\begin{eqnarray*} (0;0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (x;0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (x;x+1) \end{eqnarray*}$ .. aber hey, da gibt's viele. smile

25.09.2006, 16:22

sqrt(2)

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Also ich verstehe die Aufgabe so, dass für ein Paar $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} x^2+4y \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} y^2+5x \end{eqnarray*}$ Quadratzahlen sein müssen. Die allermeisten deiner Lösungen passen da nicht.

25.09.2006, 18:30

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Zitat:

Original von Mike89
Meine Lehrerin meinte, dass es am besten wäre einige Lösungen zu finden und dann beweisen, dass es keine anderen gibt, aber bis jetzt hab ich nur (1,2) gefunden

Wie wär's noch mit (8,9) oder (9,22) ... smile

Deine Lehrerin hat Recht: Es gibt nur endlich viele Lösungen mit positiven $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ . Fordert man nur Nichtnegativität. dann gibt es unendlich viele Lösungen, diese zusätzlichen Lösungen mit entweder x=0 oder y=0 sind allerdings trivial und leicht erkennbar.

25.09.2006, 21:37

Mike89

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Also ich verstehe die Aufgabe so, dass für ein Paar $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} x^2+4y \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} y^2+5x \end{eqnarray*}$ Quadratzahlen sein müssen. Die allermeisten deiner Lösungen passen da nicht.

Ja, darum geht's.

25.09.2006, 21:45

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Edit: So, jetzt aber..

code:

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50:

Mit den Zahlen müsste es doch hinhauen, oder? verwirrt

25.09.2006, 23:07

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Ich kann nicht erkennen, dass $\begin{eqnarray*} y^2+5x = 6^2+5\cdot 5 = 61 \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist. unglücklich

25.09.2006, 23:10

therisen

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
Bitte loeschen.

Das ist kein gutes EDIT unglücklich

Zitat:

Achtung: Bitte lösche keine inhaltlichen Dinge deines Beitrags, falls
bereits darauf Bezug genommen wurde, um den Themenverlauf
nachvollziehbar zu gestalten.

Der Bezug ist hier: x^2+4y=m^2, y^2+5x=n^2

26.09.2006, 00:29

penizillin

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dann gibt es wohl nur die drei:

1,2
8,9
9,22

oder?

26.09.2006, 00:31

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Ja.

php:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:


<code>
    <pre>
    <?php
    for ( $i = 0; $i <= 2000; ++$i )
        for ( $j = 0; $j <= 2000; ++$j )
            if ( ( ( ( $tmp = sqrt( pow( $i, 2 ) + 4 * $j ) ) - floor( $tmp ) ) == 0 ) &&
                 ( ( ( $tmp2 = sqrt( pow( $j, 2 ) + 5 * $i ) ) - floor( $tmp2 ) ) == 0 ) )
                print (string)$i . "\t\t" . (string)$j . "\n";
    unset ( $tmp, $i, $j );
    ?>
    </pre>
</code>

26.09.2006, 00:35

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@Zahlentheorie

Mit der Methode kannst du dir da gar nicht sicher sein. Teufel

Aber es stimmt trotzdem.

26.09.2006, 00:44

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Mal die generelle Frage.. Wie kann ich beweisen, dass es keine andere Lösungen gibt? (ok, ohne $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ )

26.09.2006, 00:48

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Ein waches Auge und eine kleine Fallunterscheidung reichen aus.

26.09.2006, 14:15

sqrt4

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
Mal die generelle Frage.. Wie kann ich beweisen, dass es keine andere Lösungen gibt? (ok, ohne $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ )

Eine etwas andere Aufgabe, aber im Prinzip dasselbe hier:

Aufgabe

Da gab es nur Lösungen x=y=z=0 und sonst keine weiteren, was dann auch bewiesen wird.

26.09.2006, 14:20

sqrt4

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hä das versteh ich jetzt nicht ganz. Ich hab hier grad einen Beitrag reingestellt und den seh ich jetzt nicht mehr. Das wär mal wieder für den Thread "Warum macht das Board nicht...."

\\Edit.

Sry jetzt doch

26.09.2006, 14:20

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Hmm, also m.E. kommen hier etwas andere Techniken zur Anwendung. Als einzige Gemeinsamkeit sehe ich hier die Oberklasse "Diophantische Gleichungen".

26.09.2006, 14:23

sqrt4

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ja okay aber Zahlentheorie wollte generell wissen wie man beweist, dass es keine weitern Lösungen gibt.
Außerdem hätte es dann jetzt mal einen Nutzen was ich in die tasten gehämmert habe..

\Edit
Generell kann man das wohl auch nicht so sagen (wobei dein Hinweis natürlich immer hilft Augenzwinkern

).
Aber wenn man das eine oder andere Bsp gesehen hat tut man sich da nächste mal vielleicht leichter.

26.09.2006, 14:34

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Die Angabe einer generellen Verfahrensweise für alle Diophantischen Gleichungen ist unmöglich, siehe

10.Hilbertsches Problem und dessen Antwort

Man denke nur an die Schwierigkeiten mit dem Großen Fermat $\begin{eqnarray*} x^m+y^m=z^m \end{eqnarray*}$ , der fällt ja auch in diese allgemeine Kategorie...

Das war eigentlich der Grund, warum ich dein "im Prinzip dasselbe" kommentiert habe... smile

26.09.2006, 21:48

Mike89

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Also soll ich solche $\begin{eqnarray*} (k, l) \end{eqnarray*}$ finden, für die:
$\begin{eqnarray*} x^{2} + 4y \equiv a \mod k \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} m^{2} \equiv a \mod l \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} y^{2} + 5x \equiv b \mod l \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} n^{2} \equiv b \mod k \end{eqnarray*}$
nur wenn
$\begin{eqnarray*} (x, y) = (1, 2), (8, 9), (9, 22) \end{eqnarray*}$ ?

26.09.2006, 22:01

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Was sind denn jetzt wieder $\begin{eqnarray*} a,b,k,l \end{eqnarray*}$ ? Ich verstehe nicht, wie das jetzt zu einer Lösung führen soll? verwirrt

Ich geb mal für den Fall nur positiver $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ eine Fallunterscheidung vor, mit der man die Sache in den Griff kriegt. Aus dieser Positivität folgt erst mal unmittelbar $\begin{eqnarray*} m>x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n>y \end{eqnarray*}$ . Nun unterscheidet man 4 Fälle:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} m=x+2k+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ (eigentlich genügen hier $\begin{eqnarray*} m=x+1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m=x+3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=x+5 \end{eqnarray*}$ , wegen 4.Fall)

2.Fall: $\begin{eqnarray*} m=x+2 \end{eqnarray*}$

3.Fall: $\begin{eqnarray*} m=x+4 \end{eqnarray*}$

4.Fall: $\begin{eqnarray*} m\geq x+6 \end{eqnarray*}$

Nur in den Fällen 2 und 3 gibt es Lösungen (die oben schon erwähnten), was man sicher zeigen kann.

EDIT: Zumindest den 4.Fall will ich mal ausführen:

Hier sei also $\begin{eqnarray*} m\geq x+6 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x^2+4y = m^2 \geq x^2+12x+36 \end{eqnarray*}$ , es folgt $\begin{eqnarray*} 2y \geq 6x+18 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} n\geq y+1 \end{eqnarray*}$ folgt nun aber andererseits $\begin{eqnarray*} y^2+2y+1 \leq n^2 = y^2+5x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 2y \leq 5x-1 \end{eqnarray*}$ . Die entstehenden Doppelungleichung $\begin{eqnarray*} 6x+18 \leq 2y \leq 5x-1 \end{eqnarray*}$ hat nun aber keine positiven Lösungen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

27.09.2006, 17:11

sqrt4

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also ich denke das das rechenen mit Kongruenzen hier nicht angebacht ist, auch wenn ich selber dazu ein Bsp gegeben hab.
Denn bei dem Bsp gab es ja überhaupt keine nichttrivialen Lösungen. Das heißt man könnte(!) durchaus auf einen Widerspruch stoßen (mit Kongruenzen)(was dann auch passiert), aber hier gibt es ja Lösungen und somit kann man sowas wie unendlichen Abstieg gleich mal vergessen..

\Edit
@Arthur
Wie soll man denn auf so eine Fallunterscheidung kommen ??
Ich denke mal du hast nicht einfach fröhlich rumgeraten oder ??

27.09.2006, 18:06

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Auf sowas kommt man mit ein wenig Heuristik + binomische Formel im Hinterkopf: Wenn $\begin{eqnarray*} m\geq x+3 \end{eqnarray*}$ und zugleich $\begin{eqnarray*} n\geq y+3 \end{eqnarray*}$ gelten, dann führt das unmittelbar zum Widerspruch. Also muss man sich bei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nur "in der Nähe" von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umsehen.

Und die Heuristik kann man dann abstreifen und das ganze exakt niederschreiben. Augenzwinkern

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x^2+4y=m^2, y^2+5x=n^2

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