Integral - Konvergenz und Wert

11.09.2009, 15:45

ge88

Integral - Konvergenz und Wert

Fuer welche $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert das uneigentliche Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x^{\beta}}~\dd x \end{eqnarray*}$

Ggf berechne man den Wert des Integrals.

Muss man hier $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ wild kombinieren oder wie macht man das?
Danke!

11.09.2009, 15:57

O. Becker

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RE: Integral - Konvergenz und Wert
Für $\begin{eqnarray*} \beta=1 \end{eqnarray*}$ steht da schonmal $\begin{eqnarray*} \Gamma(\alpha+1). \end{eqnarray*}$

12.09.2009, 12:49

ge88

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RE: Integral - Konvergenz und Wert
Ok, das ist die Gammafunktion fuer $\begin{eqnarray*} \alpha > -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta = 1 \end{eqnarray*}$ .
Fuer $\begin{eqnarray*} \beta > 1 \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x^{\beta}}~\dd x \leq \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}~\dd x \end{eqnarray*}$ .
Das Integral sollte eigentlich fuer alle $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergieren.

12.09.2009, 18:07

bishop

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ich habe folgenden Vorschlag:

Da sowohl $\begin{eqnarray*} x^{\alpha} \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} e^{-\beta} \end{eqnarray*}$ monotone Funktionen sind, ist es auch deren Produkt, und als solches muss man nur gucken ob die Anfangs/ und Endpunkte des Integrals divergieren um etwas über die Konvergenz des Integrals aussagen zu können.

zum Beispiel divergiert das Integral für negative alpha und alle beta , da die Funktion am nullpunkt divergiert.
Für alpha=0 und positive Beta konvergiert das Integral, der Wert ist nicht schwer zu berechnen
bei positivem alpha und negativem beta divergiert die Funktion am Endpunkt -> Integral divergiert auch
positives alpha und alpha = 0 -> wieder divergiert die Funktion am Endpunkt -> Integral dann auch
positives beta und positives alpha => imo konvergiert dieses Integral, weil die e funktion auf jedenfall schneller gegen 0 strebt als jedes Polynom gegen Unendlich, hier könnte es helfen induktiv mit l'Hospital zu argumentieren, hier habe ich aber keine Idee wie man handlich den Wert berechnen kann.
Alternativ könnte es aber auch sein, dass es eine Grenze gibt, bis zu der das Integral konvergiert, z.B bei besonders großen alpha und sehr kleinen betas, hier bin ich mir nicht ganz sicher

gruß Bishop

12.09.2009, 19:55

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Zitat:

Original von bishop
zum Beispiel divergiert das Integral für negative alpha und alle beta , da die Funktion am nullpunkt divergiert.

Stimmt nicht, z.B. existiert im Fall $\begin{eqnarray*} \alpha = -\frac{1}{2},\beta=1 \end{eqnarray*}$ das uneigentliche Integral.

Anderer Vorschlag:

Betrachte die Fälle $\begin{eqnarray*} \beta=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta=1 \end{eqnarray*}$ gesondert. Für alle anderen $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ kannst du das Integral über die Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^{\beta} \end{eqnarray*}$ auf den Grundtyp $\begin{eqnarray*} \beta=1 \end{eqnarray*}$ zurückführen, natürlich dann mit gemäß der Substitutionsrechnung anderem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

12.09.2009, 21:27

ge88

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Anderer Vorschlag:

Betrachte die Fälle $\begin{eqnarray*} \beta=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta=1 \end{eqnarray*}$ gesondert. Für alle anderen $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ kannst du das Integral über die Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^{\beta} \end{eqnarray*}$ auf den Grundtyp $\begin{eqnarray*} \beta=1 \end{eqnarray*}$ zurückführen, natürlich dann mit gemäß der Substitutionsrechnung anderem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

Danke fuer den Vorschlag.

1. Fall $\begin{eqnarray*} \beta = 0 \end{eqnarray*}$ :

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x^{\beta}}~\dd x = \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-1}~\dd x = \frac{1}{e} \int_0^{\infty} x^{\alpha}~\dd x \end{eqnarray*}$ .

Sieht nicht konvergent aus:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} x^{\alpha}~\dd x = \lim_{b \to \infty} \int_0^{b} x^{\alpha}~\dd x = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right) \end{eqnarray*}$ .

2. Fall $\begin{eqnarray*} \beta = 1 \end{eqnarray*}$ :

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x^{\beta}}~\dd x = \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}~\dd x \end{eqnarray*}$ .

Ich weiss nicht, ob es richtig ist, aber ich betrachte $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^{\alpha}}{e^k} \end{eqnarray*}$ und diese Reihe ist konvergent, denn es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{e} \cdot \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{\alpha} \end{eqnarray*}$ .

Mit der Substitution kaempfe ich noch..

12.09.2009, 22:02

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Zitat:

Original von ge88
Sieht nicht konvergent aus:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} x^{\alpha}~\dd x = \lim_{b \to \infty} \int_0^{b} x^{\alpha}~\dd x = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right) \end{eqnarray*}$ .

Das ist eine passende Divergenzbegründung für den Fall $\begin{eqnarray*} \alpha > -1 \end{eqnarray*}$ .

Wie verhält es sich aber für den "Rest" $\begin{eqnarray*} \alpha \leq -1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Zitat:

Original von ge88
Es gilt

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x^{\beta}}~\dd x = \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}~\dd x \end{eqnarray*}$ .

Betrachte die Zerlegung

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} ~ \dd x = \int_0^1 x^{\alpha} e^{-x} ~ \dd x ~ + ~ \int_1^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Das zweite Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \end{eqnarray*}$ existiert stets als uneigentliches Integral (warum?); das andere Integral lässt sich über

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \int_0^1 x^{\alpha} ~ \dd x \leq \int_0^1 x^{\alpha} e^{-x} ~ \dd x \leq \int_0^1 x^{\alpha} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

einschachteln, womit sich klar die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ für Konvergenz/Divergenz identifizieren lassen.

Generell lässt sich anmerken, dass dir offenbar noch nicht ganz klar ist, dass für negative $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auch die linke Integralgrenze 0 eine "uneigentliche" Grenze ist - wenn ich das mal so salopp sagen darf.

13.09.2009, 00:53

ge88

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Wie verhält es sich aber für den "Rest" $\begin{eqnarray*} \alpha \leq -1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Fuer $\begin{eqnarray*} \alpha \leq -1 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{b \to \infty} \frac{b^{\alpha+1}}{\alpha+1} = \frac{1}{\alpha+1} \cdot \lim_{b \to \infty} b^{\alpha+1} = 0 \end{eqnarray*}$

Oder muss ich auch $\begin{eqnarray*} a \to 0 \end{eqnarray*}$ betrachten?

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das zweite Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \end{eqnarray*}$ existiert stets als uneigentliches Integral (warum?)

Die Potenzfunktion ist fuer $\begin{eqnarray*} x \in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ definiert?

Zitat:

Original von Arthur Dent
Generell lässt sich anmerken, dass dir offenbar noch nicht ganz klar ist, dass für negative $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auch die linke Integralgrenze 0 eine "uneigentliche" Grenze ist - wenn ich das mal so salopp sagen darf.

Ahm ja, bin neu auf dem Gebiet.
Also es gilt $\begin{eqnarray*} \int_0^1 x^{\alpha}~\dd x = \lim_{a \to 0} \int_a^1 x^{\alpha}~\dd x = \lim_{a \to 0} \frac{1 - a^{\alpha+1}}{\alpha+1} \end{eqnarray*}$ ?
Ich hoffe, es ist nicht voll daneben (ist echt spaet).

13.09.2009, 11:42

ge88

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Oder so argumentieren:
Es gilt
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} x^{\alpha}~\dd x = \lim_{a \to 0} \int_a^1 x^{\alpha}~\dd x + \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^{\alpha}~\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\alpha+1} \left( \lim_{a \to 0} \left( 1 - a^{\alpha+1} \right) + \lim_{b \to \infty} \left( b^{\alpha+1} - 1 \right) \right) \end{eqnarray*}$

und fuer negative $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{\alpha} = \infty \end{eqnarray*}$ . Es ist also

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 x^{\alpha} e^{-x}~\dd x \leq \frac{1}{\alpha+1} \cdot \lim_{a \to 0} \left(1 - a^{\alpha+1} \right) \end{eqnarray*}$ ,

deshalb muss $\begin{eqnarray*} \alpha > -1 \end{eqnarray*}$ sein.

14.09.2009, 10:51

ge88

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Substitution:
Mit $\begin{eqnarray*} u = x^{\beta} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x^{\alpha} = u^{\frac{\alpha}{\beta}},~ e^{-x^{\beta}} = e^{-u} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \dd x = \frac{u^{\frac{1-\beta}{\beta}}}{\beta}~\dd u \end{eqnarray*}$ .
Ergibt sich also
$\begin{eqnarray*} \int x^{\alpha} e^{-x^{\beta}}~\dd x = \frac{1}{\beta} \int u^{\frac{\alpha}{\beta}} e^{-u} u^{\frac{1}{\beta}-1}~\dd u = \frac{1}{\beta} \int u^{\frac{\alpha+1}{\beta}-1} e^{-u}~\dd u \end{eqnarray*}$
und das konvergiert auf jeden Fall fuer $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha+1}{\beta} > 0 \end{eqnarray*}$ .
Mache ich ueberhaupt Fortschritte..?

14.09.2009, 11:05

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Dir fehlt ein wenig der Überblick, denn genau genommen hast du schon alles beisammen, musst es nur noch ein wenig ordnen. Augenzwinkern

Genauer (also inklusive der Grenzen) aufgeschlüsselt ergibt die Substitution

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} ~ x^{\alpha} e^{-x^{\beta}} ~ \dd x = \frac{1}{|\beta|} \int\limits_0^{\infty} u^{\frac{\alpha+1}{\beta}-1} e^{-u} ~ \dd u \qquad (*) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} \beta\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du doch nur noch deine obigen Erkenntnisse vom Fall $\begin{eqnarray*} \beta=1 \end{eqnarray*}$ (d.h. Konvergenz für $\begin{eqnarray*} \alpha > -1 \end{eqnarray*}$ , Divergent für $\begin{eqnarray*} \alpha \leq -1 \end{eqnarray*}$ ) auf das entstandene $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Integral übertragen, und da speziell auf den u-Exponenten $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha+1}{\beta}-1 \end{eqnarray*}$ übertragen. Im übrigen ermögicht Formel (*) im Konvergenzfall die genaue Angabe des Integralwertes, zumindest unter Nutzung der Gammafunktion.

14.09.2009, 12:48

ge88

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Es gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha+1}{\beta} - 1 > -1 ~\Leftrightarrow~ \frac{\alpha+1}{\beta} > 0 \end{eqnarray*}$ .
Also falls $\begin{eqnarray*} \beta < 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \alpha < -1 \end{eqnarray*}$ , und falls $\begin{eqnarray*} \beta > 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \alpha > -1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Arthur Dent
Im übrigen ermögicht Formel (*) im Konvergenzfall die genaue Angabe des Integralwertes, zumindest unter Nutzung der Gammafunktion.

Stimmt, steht irgendwie schon da

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} ~ x^{\alpha} e^{-x^{\beta}} ~ \dd x = \frac{\Gamma \left( \frac{\alpha+1}{\beta} \right)}{|\beta|} \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank! smile

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