Transitivität bei Äquivalenzrelationen

13.09.2009, 10:51

schmouk

Transitivität bei Äquivalenzrelationen

Hallo,

ich muss folgende Frage stellen:

Mal angenommen ich habe eine Relation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ und die ist symmetrisch und transitiv. Dann könnte ich ja auf die Idee kommen, die Reflexivität aus der Symmetrie und Transitivität zu folgern:

$\begin{eqnarray*} (x\sim y\Leftrightarrow y\sim x) \Rightarrow x\sim y\sim x \end{eqnarray*}$

Das geht so nicht. Ich würde jetzt einfach sagen... Ich weiß es nicht.

13.09.2009, 11:06

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Das Problem ist, dass Symmetrie und Transitivität nicht sichern, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ überhaupt ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\sim y \end{eqnarray*}$ gibt - wenn das so wäre, dann würde die Reflexivität tatsächlich automatisch folgen, gemäß deiner obigen Argumentation.

Falls du noch nicht siehst, was ich meine: Schau dir die "leere" Relation an - die ist symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv.

13.09.2009, 12:08

schmouk

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Ich muss leider noch weiter runter:

Verstehe ich leere Relation richtig, wenn ich mir eine Relation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ vorstelle und keine Element in $\begin{eqnarray*} M\times M \end{eqnarray*}$ finde, die durch diese Relation verknüpft werden können?

Also Beispiel: Die Relation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ ist die Orthogonalität zweier Geraden.

$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthält aber keine zwei Geraden die orthogonal zueinander sind.
Also ist x nicht orthogonal zu sich selbst - also nicht reflexiv
x ist nicht orthogonal zu einer anderen Geraden y.

Also ist die Menge der Elemente die in diese (orthogonalitäts)Relation zueinander stehen, leer.
Also ist diese Relation auf einer solchen Menge eine "leere Relation"?

Achso:

Und jetzt kann ich z.B. sagen, x ist orthoganal zu y gdw. y orthogonal zu x ist.
transitiv ist es jetzt nich f.a. elemente aber ich glaub ich weiß was du meinst...

13.09.2009, 12:13

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Leer heißt leer, also $\begin{eqnarray*} R=\emptyset \end{eqnarray*}$ , d.h., es gibt gar keine $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\sim y \end{eqnarray*}$ .

13.09.2009, 12:16

Mathespezialschüler

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Was hast du denn jetzt für ein $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gewählt?

Zitat:

Original von schmouk
transitiv ist es jetzt nich f.a. elemente aber ich glaub ich weiß was du meinst...

Wenn du deine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ so gewählt hast, dass es keine Elemente gibt, die zueiander orthogonal sind, dann ist die Orthogonalitätsrelation auch transitiv! (Auch wenn sie es z.B. auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nicht ist.)

Eine Relation auf einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist nach Definition eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M\times M \end{eqnarray*}$ , nicht mehr und nicht weniger. Die leere Teilmenge definiert also auch eine Relation, die man einfach leere Relation nennt. Diese ist symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv.

Relationen müssen nicht definiert sein durch irgendwelche Eigenschaften von zwei Elementen in Bezug aufeinander, wie es normalerweise der Fall ist, sondern man kann Relationen einfach durch die Angabe der entsprechenden Teilmenge definieren. Das solltest du dir vielleicht nochmal klar machen.

13.09.2009, 14:31

Elvis

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Hier geht's mal wieder um die Quantoren. Eine Relation $\begin{eqnarray*} R\subset M\times M \end{eqnarray*}$ heißt reflexiv, genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \forall x\in M: (x,x) \in R \end{eqnarray*}$ . Das kann man aus Symmetrie und Transitivität i.a. nicht schließen.

14.09.2009, 11:49

Mystic

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Man nehme einfach eine Äquivalenzrelation R auf einer Menge M und irgendeine echte Obermenge M' von M. Dann ist R aufgefaßt als Relation auf M' immer noch symmetrisch und transitiv, aber nicht mehr reflexiv...

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