Basis eines Vektorraums zeigen

13.09.2009, 19:50

VinSander82

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Basis eines Vektorraums zeigen

hallo, ich soll zeigen, dass im R-Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ die Menge B:= {(1,1),(1,2)} eine Basis ist und soll die Koeffizienten des Vektors (-5,4) bzgl. dieser Basis bestimmen.

Wie mache ich den ersten Schritt??

danke

13.09.2009, 20:07

kiste

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Zeige dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind, in ne Matrix reinschreiben und Zeilenumformungen oder alternativ kurz Determinante bestimmen.

18.09.2009, 18:19

VinSander82

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det A= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ = 1 * 1 - 1 * 2=1

das heisst, dass jeder quadr. matrix eine determinante zugeordnet wird, da sie eindeutig ist.

somit linear abhängig

18.09.2009, 18:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von VinSander82
das heisst, dass jeder quadr. matrix eine determinante zugeordnet wird, da sie eindeutig ist.

somit linear abhängig

verwirrt

Das heißt, daß die Determinante nicht Null ist und daher die Vektoren linear unabhängig sind.

18.09.2009, 18:48

VinSander82

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ok, habe mich auch danach auch gefragt, ob ich das richtig beschrieben habe, also sind sie unabhängig...

wie kann ich weiter machen?

19.09.2009, 00:25

ebichu

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du musst das gleichungssystem A*[Basisvektor1]+B*[Basisvektor2]=[dein gesuchter Vektor] lösen

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19.09.2009, 09:18

eierkopf1

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Als Ergänzung:
Der Vektor $\begin{eqnarray*} x:=\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist dann der Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} v:=\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B. \end{eqnarray*}$

19.09.2009, 12:39

Manus

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Auch eine kleine Ergänzung:

Eine Basis ist eigentlich keine Menge, sondern ein geordnetes Tupel von Vektoren.

Und zwar genau aus dem Grund, dass man Basisdarstellungen von Vektoren bzgl. dieser Basis angeben kann. Dafür kommt es aber auf die Reihenfolge der Basisvektoren an, welche durch die Mengenschreibweise nicht festgelegt ist.

25.09.2009, 17:41

VinSander82

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ahso, muzss ich also quasi

$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{2}= -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} + 2x_{2}= 4 \end{eqnarray*}$

setzen und lösen

25.09.2009, 17:48

VinSander82

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also durch ausrechnen,

$\begin{eqnarray*} x_{1}= -14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}= 9 \end{eqnarray*}$

habe ich somit die aufgabe durch?

25.09.2009, 22:13

eierkopf1

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Ja.

Freude

Man kann es selbst leicht kontrollieren:

$\begin{eqnarray*} -14 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 9 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.09.2009, 12:34

VinSander82

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cool

Tanzen

, aber ist das auch wirklich alles was man zeigen muss? verwirrt

verwirrt

27.09.2009, 12:50

VinSander82

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kann mir jemand noch zeigen wie ich das mit der zeilen umformung machen kann, anstatt mit der determinante?

nur aus neugier

vg

27.09.2009, 12:57

jester.

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Das ist einfach der Gauß-Algortihmus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} \stackrel{A(2,1,-1)}{\hookrightarrow} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \stackrel{A(1,2,-1)}{\hookrightarrow} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dabei steht $\begin{eqnarray*} A(a,b,c) \end{eqnarray*}$ für "addiere zur a-ten Zeile die b-te c-mal".

Spätestens im letzten Schirtt erkennt man dann, dass man zwei linear unabhängige Vektoren hat, somit eine Basis.

27.09.2009, 13:06

VinSander82

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muss ich das dann quasi gleich null setzen,

also 1 + 1 = 0

1 + 2 = 0

und dann auflösen?

27.09.2009, 13:34

jester.

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Hä?

verwirrt

Wir haben doch jetzt schon auf zwei Arten gezeigt, dass eine Basis vorliegt. Ich verstehe deine Frage jetzt nicht ganz.

27.09.2009, 15:35

VinSander82

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naja ich verstehe nicht ganz den durchgang des zweiten beweises durch zeilenumformung

wie in meinem besipiel, wollte ich dich /euch fragen , ob man dies

muss ich das dann quasi gleich null setzen,

also 1 + 1 = 0

1 + 2 = 0

und dann auflösen?

zeigen kann

27.09.2009, 15:45

jester.

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Ich verstehe gar nicht, wie du auf diese offenbar falschen Gleichungen kommst. Da steht ja $\begin{eqnarray*} 1+1=2\stackrel{?}{=}0 \end{eqnarray*}$ .
Die eigentliche Frage habe ich jetzt immer noch nicht verstanden, muss ich gestehen.

Der Beweis durch den Gauß-Algorithmus überführt die Matrix bestehend aus den potentiellen Eigenvektoren in strikte Zeilenstufenform. Enstehen dabei Nullzeilen, so sind die Vektoren linear abhängig. Sind sie das nicht und die Vektoren erzeugen den betrachteten Vektorraum, so hat man eine Basis gefunden.

27.09.2009, 17:11

VinSander82

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ah shit, natürlich meine ich

$\begin{eqnarray*} x_{1}+x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}+2x_{2}= 0 \end{eqnarray*}$

27.09.2009, 17:46

eierkopf1

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Ich verstehe deine Frage auch nicht ganz, aber vielleicht meinst du das:

Zitat:

Original von VinSander82
$\begin{eqnarray*} x_{1}+x_{2} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}+2x_{2}= 0 \end{eqnarray*}$

Das ist ein homogenes Gleichungssystem und dessen Lösungsraum der Kern der zugeordneten linearen Abbildung ist. Wenn der Kern nur aus dem Nullvektor (also der Nullvektor die einzige Lösung des LGS ist) besteht, dann folgt aus der Dimensionsformel, dass das Bild vollen Rang (hier 2) hat. Das wäre eine Möglichkeit, um zu zeigen, dass diese Vektoren linear unabhängig sind. Aber meistens sind die beiden anderen Möglichkeiten angenehmer durchführbar.

28.09.2009, 01:33

VinSander82

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Zitat:

Original von jester.
Das ist einfach der Gauß-Algortihmus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} \stackrel{A(2,1,-1)}{\hookrightarrow} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \stackrel{A(1,2,-1)}{\hookrightarrow} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dabei steht $\begin{eqnarray*} A(a,b,c) \end{eqnarray*}$ für "addiere zur a-ten Zeile die b-te c-mal".

Spätestens im letzten Schirtt erkennt man dann, dass man zwei linear unabhängige Vektoren hat, somit eine Basis.

↲Also ich denk,ihr habt mich missverstanden.↲Ich wollt nur wissen wie dieser Rechenschritt (siehe zitat)vollständig ausgeführt wird.

28.09.2009, 08:40

eierkopf1

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Lese das mal durch:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gauß-Elimination#Beispiel

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