Matrizen - Definition

14.09.2009, 08:59

Schnubbi

Matrizen - Definition

Hallo liebe Forum-Mitglieder!

Wir haben als Einstieg in unseren Kurs Matrizen kennen gelernt. Dazu habe ich nun aber einige Fragen, da ich schon sehr lange nichts mehr mit Mathematik am Hut hatte und mir scheinbar einige Grundlagen fehlen.

Zunächst geht es darum, dass wir für Matrizen erst einmal selbstständig eine Definition aufschreiben sollen.
Natürlich habe ich im Netz gesucht, aber ich finde diese Definitionen immer sehr "unmathematisch", wie zum Beispiel diese hier:
Eine Matrix (Mz. Matrizen) ist eine in Klammern eingeschlossene Anordnung von Zahlen oder mathematischen Größen in Zeilen und Spalten.

Zudem wurde gesagt, dass wir Matrizen als lineare Funktionen definieren sollen, weil wir sie in dieser Form behandeln werden. Um ehrlich zu sein habe ich das überhaupt nicht verstanden, zumal in den anderen Definitionen immer nur von lienaren Gleichungssystemen die Rede ist.
Wenn ich jetzt nicht alles falsch verstanden habe ist es doch so, dass man lineare Gleichungen als Matrizen aufschreiben kann und diese dann einfacher zu berechnen sind, oder?

Zudem sollen wir uns Gedanken machen, wo man konkret Matrizen verwendet. Unter google bin ich aber auch da nicht wirklich fündig geworden.
Wäre schön wenn mir jemand hilft, damit ich nicht gleich am Anfang den Anschluss verliere...

14.09.2009, 09:23

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Mit Hilfe von Matrizen und den zugehörigen Rechenoperationen (Addition, Multiplikation, usw.) kann man lineare Abbildungen (und daraus abgeleitet auch lineare Gleichungssysteme) beschreiben, aber sie selbst sind keine linearen Abbildungen! Was sie sind, hat du ja schon beschrieben:

Zitat:

Original von Schnubbi
Eine Matrix (Mz. Matrizen) ist eine in Klammern eingeschlossene Anordnung von Zahlen oder mathematischen Größen in Zeilen und Spalten.

Das ist genau, wie wenn du 3 Äpfel hast: Dann kannst du die Zahl 3 nutzen, um die Anzahl der Äpfel damit zu kennzeichnen, aber die Zahl 3 macht durchaus auch ohne den Zusammenhang zu Äpfeln Sinn. Augenzwinkern

14.09.2009, 09:32

Schnubbi

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Danke für eine so schnelle Antwort.

Das heißt, wenn ich in einer Prüfung gefragt werde, was sind Matrizen, dann würde die von mir angegebene Definition schon reichen?

Scheinbar muss ich noch so einiges wieder auffrischen, denn irgendwie verschwimmen bei mir die Bezeichnungen lineare Funktion, lineare Abbildung und lineare Gleichungssysteme alle miteinander.

Kannst du mir das nochmal genauer erklären, denn ich verstehe nicht ganz, was du geschrieben hast. Mit Matrizen kann ich lineare Funktionen beschreiben und daraus abgeleitet auch lineare Gleichungssysteme, d.h dass ich meine lineare Funktion in ein lineares Gleichungssystem umwandle und damit dann die Matrix bilde? Und dann hab ich gleich noch eine Frage, Matrizen lassen sich nur mit linearen Funktionen bilden?

Wie gesagt, versuche gerade alles aufzufrischen, bin doch schon zu lang aus der Schule raus.

14.09.2009, 11:09

Mathespezialschüler

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Für eine mathematisch exaktere Definition siehe hier.

Lineare Abbildungen im Speziellen sind Abbildungen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ , die die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} f(v+w)=f(v)+f(w),\qquad f(\lambda v)=\lambda f(v) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} v,w\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ erfüllen. Wenn du jetzt die Bilder der Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ bestimmst und diese alle als Spalten in eine $\begin{eqnarray*} m\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schreibst, so lässt sich mithilfe dieser Matrix die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ beschreiben durch $\begin{eqnarray*} f(x)=Ax \end{eqnarray*}$ .

Die lineare Abbildung wandelt man nicht in eine lineare Abbildung um! Diese haben nur iin folgendem Sinne etwas miteinander zu tun: Eine lineares Gleichungssystem lässt sich darstellen als $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ mit einer geeigneten Koeffizientenmatrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und einem Vektor $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Die Frage der Lösbarkeit ist äquivalent zur Frage der Lösbarkeit der Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=b \end{eqnarray*}$ für die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=Ax \end{eqnarray*}$ . In diesem Sinne hängen diese also miteinander zusammen.

14.09.2009, 11:31

Manus

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Lineare Abbildungen im Speziellen sind Abbildungen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ , die die Gleichungen...

Kurze Ergänzung; der zugrundliegende Körper muss nicht zwingend $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sein. Jeder andere Körper (beispielsweise $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ oder die endlichen Restklassenkörper) kommt ebenfalls infrage.

14.09.2009, 12:31

Schnubbi

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Vielen Dank für eure Antworten.
Aber seit mir nicht böse, ich verstehe nur Bahnhof.
Wie gesagt ich bin lange raus und als erstes machen wir nun gerade Matrizen, genauer haben wir mit der google-Matrix als Beispiel angefangen. Könnt ihr eine Seite empfehlen, wo ich die absoluten Grundlagen nachlesen kann, denn momentan verstehe ich noch nichts.

Für mich sind Matrizen bis jetzt nur rechteckige Zahlenschemas, die wir aus linearen Gleichungen zusammengesetzt haben.

14.09.2009, 13:13

Reksilat

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Hi Schnubbi,

Zu Matrizen gibt es hier einen Matheboard-Workshop.

Der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen wird bei wiki unter Abbildungsmatrizen recht ausführlich erklärt. Letztlich ist es dafür aber in jedem Falle nötig, sich mit Vektorräumen und Basen etwas auszukennen - ich hoffe, dass das schon behandelt wurde.

Gruß,
Reksilat.

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