Diagonalisierbarkeit einer Matrix

14.09.2009, 10:46

kerrl

Diagonalisierbarkeit einer Matrix

Hallo, ich habe ein Problem bei einer Übungsaufgabe:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist diese Matrix diagonalisierbar, d.h. existiert ein $\begin{eqnarray*} TDT^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Fragen:
1. A ist symmetrisch, ist sie daher diagonalisierbar?
2. Wie kann ich die Abbildungsmatrix T ermitteln?

Gruss

14.09.2009, 11:40

klarsoweit

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RE: Diagonalisierbarkeit einer Matrix
Bestimme die Eigenvektoren. smile

14.09.2009, 11:59

kerrl

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Durch $\begin{eqnarray*} det(E\cdot \lambda-A) \end{eqnarray*}$ ergibt sich das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} \lambda(\lambda^{2} -5\lambda+4) \end{eqnarray*}$ .

Also folgende Eigenwerte:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}= 0 <br /> \lambda_{2}= 1 <br /> \lambda_{3}=4. \end{eqnarray*}$

Die Eigenvektoren:

Mit $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}:\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} \lambda_{2}:\beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \lambda_{3}:\gamma \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann?

14.09.2009, 12:31

Ehos

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Du hast eine symmetrische Matrix A gegeben. Hier ist die Sache noch einfacher als im allgemeinen Fall einer allgemeinen Matrix.

Bestimme zuerst die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{eqnarray*}$ und die zugehörigen Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2, \vec a_3 \end{eqnarray*}$ von A, indem du das Eigenwertproblem $\begin{eqnarray*} A \vec a_k=\lambda_k \vec a_k \end{eqnarray*}$ löst.

Die Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind bei symmetrischen Matrizen automatisch senkrecht zueinander. Gehören zu einem Eigenwert mehrere Eigenvektoren, kann man diese orthogonalisieren. Tue dies, so das Du 3 orthoganale Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2, \vec a_3 \end{eqnarray*}$ hast!

Diese 3 einzelnen Eigenwertgleichungen $\begin{eqnarray*} A \vec a_k=\lambda_k \vec a_k \end{eqnarray*}$ kann man zu einer einzigen Matrixgleichung wie folgt zusammenfassen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&0\\0&\lambda_{2}&0\\0&a&\lambda_{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei haben wir die senkrechten Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_k=(a_{k1}|a_{k2}|a_{k3}) \end{eqnarray*}$ mit k=1,2,3 als die Zeilen einer Matrix $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ geschrieben. Diese Matrix ist gerade die gesuchte Matrix T!!! Dies kann man sich schnell klarmachen, indem man die letzten Gleichung mit der Matrix $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ multipliziert. Dann ergibt sich nämlich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&0\\0&\lambda_{2}&0\\0&a&\lambda_{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da die Eigenvektoren wie gesagt senkrecht stehen, stehen die Zeilen bzw. Spalten der Matrix $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ senkrecht. Deshalb vereinfacht sich die rechte Seite zu

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}|\vec a_1|&0&0\\0&|\vec a_2|&0\\0&0&|\vec a_3|\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&0\\0&\lambda_{2}&0\\0&a&\lambda_{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite ist ein Produkt zweier Diagonalmatrizen und damit ebenfalls eine Diagonalmatrix - wie es sein soll.

Wir sehen, die gesamte Transformation beruht auf der Tatsache, dass die Eigenvektoren der gegebenen Matrix A senkrecht stehen.

14.09.2009, 13:46

kerrl

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Zitat:

Original von Ehos
Dabei haben wir die senkrechten Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_k=(a_{k1}|a_{k2}|a_{k3}) \end{eqnarray*}$ mit k=1,2,3 als die Zeilen einer Matrix $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ geschrieben. Diese Matrix ist gerade die gesuchte Matrix T!!!

Danke, das war genau der Hinweis den ich brauchte!

Zitat:

Original von Ehos
Die Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind bei symmetrischen Matrizen automatisch senkrecht zueinander.

Obwohl ich eine symmetrische Matrix A habe, sind meine Einheitsvektoren für $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{3} \end{eqnarray*}$ nicht orthogonal zueinander, sondern identisch. Deutet dies auf einen Rechenfehler hin?

14.09.2009, 15:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von kerrl
Obwohl ich eine symmetrische Matrix A habe, sind meine Einheitsvektoren für $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{3} \end{eqnarray*}$ nicht orthogonal zueinander, sondern identisch. Deutet dies auf einen Rechenfehler hin?

In der Tat. Wie jedermann weiß, sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten auch immer verschieden. Augenzwinkern

14.09.2009, 15:10

Ehos

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Wie gesagt, die Eigenvektoren sind nur dann automatisch orthogonal, wenn sie zu verschiedenen Eigenwerten gehören.

Mitunter gehören zu einem Eigenwert aber mehr als ein Eigenvektor - z.B. 2 Stück. Man sagt dann, dieer Eigenwert hat die Vielfachheit 2. Diese 2 Eigenvektoren sind dann untereinander nicht mehr automatisch orthogonal.

Da aber alle Linearkombinationen dieser beiden Eigenvektoren wiederum Eigenvektoren zu diesem einen Eigenwert sind, spannen diese Eigenvektoren einen 2-dimensionalen Vektorraum auf - den sogenennten Eigenraum, der hier die Dimension n=2 hätte.

Es ist nun nicht schwer, aus den beiden nichtorthoonalen Eigenvktoren zwei Linearkombinationen zu bilden, die untereinander senkrecht stehen. So bekommt man auch zu diesem einen Eigenvektor zwei senkrechte Eigenvektoren.

14.09.2009, 15:42

kerrl

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Mit dem Gram-Schmidt-Verfahren kann ich 3 orthogonale und normierte Vektoren ermitteln.

14.09.2009, 17:18

eierkopf1

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Beim ersten Eigenvektor hast du einen Rechenfehler.
So sollte ein Eigenvektor zum EW $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$ aussehen:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}:\alpha \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ normal ist (symmetrische/hermitsche Matrizen sind das), ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ unitär diagonalisierbar. Dh, die Spalten von der Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ bilden ein Orthonormalsystem bestehend aus Eigenvektoren.

Wie schon gesagt, sind diese Eigenvektoren bereits orthogonal zueinander. Dh, du musst sie nur mehr normieren.

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