Quadriken in Normalform bringen

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Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
Quadriken in Normalform bringen
Hallo,
befinde mich gerade in der Klausurvorbereitung und brauch etwas Unterstützung bei Quadriken. Ich hab Probleme bei der Umformung zu den Normalformen.
Soweit ich den Überblick habe gibt es die affine Normalform, die man über Quadratische Ergänzung erhält und die euklidische Normalform, da ist das ganze etwas komplizierter.
Ich würde beides gerne mal an einem Beispiel durchexerzieren, wobei ich hoffe, dass mich jemand tatkräftig unterstützt und mir sagt, was ich als nächstes machen muss. Rechnen übernehme ich. Deal?

Zuerst jedoch eine ganz naive Frage, die mir weder aus meinem Skript noch aus meinem Lehrbuch wirklich deutlich wird:
Was habe ich mir eigentlich darunter vorzustellen, wenn ich eine Quadrik in eine Normalform transformiere?

Also auf jeden Fall hier mein Bsp:

Was muss ich tun um das in affine Normalform umzuwandeln? Was ist der erste Schritt?

PS: Ich habe diese Frage schon in der Rubrik Schulmathematik gestellt (*Newbie schämt sich)
frau holle Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich bin überhaupt kein Experte auf diesem Gebiet, aber mir haben die folgenden beiden Links weiter geholfen.
Vielleicht dir ja auch smile

http://www.matheplanet.com/matheplanet/n...cle.php?sid=842

http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/inv...achsentrafo.pdf

Wie ich es verstanden habe ist der Sinn dahinter, Quadriken auf ihre Normalform zu bringen, dass man durch den Typ der Normalform Aussagen treffen kann über die Geometrie der Hyperfläche, die sie beschreibt.
 
 
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Frau Holle,

Vielen Dank für deinen hilfreiche Antwort! Der zweite Link bezieht sich auf die euklidische Normalform von Quadriken oder? Und wie ist das mit der affinen?
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit der Anweisung
Hi nochmal,

ich beziehe mich im folgenden auf die Arbeitsanweisungen des zweiten Links von Frau Holle, die ich auf meine Bsp angewendet habe.
Bis zu Schritt 4 bin ich gut durchgekommen.
1. Matrix bestimmen:

Vektor bestimmen:


2.Eigenvektoren der Matrix
Eigenwerte:

3.Orthogonale Matrix V

Jetzt beginnen bei mir die Probleme:
In der Anleitung steht jetzt: Wenn ist, dann wähle statt . Dann ist jedoch R nicht mehr orthogonal oder?
Denn geändert ergibt sich:

Endgültig ins stocken komme ich jedoch bei
4. Substituieren
ich berechne und
Hier ist mir nicht mehr klar, wie ich das dann mit der alten Gleichung verarbeiten kann. Wo muss ich y und b einsetzen?
An alle, die so nett sind mir zu helfen: Vielen Dank im Voraus
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit der Anweisung
bzw. kleine Ergänzung:
Wenn ich einsetze, wie es oben (edit: Auf der verlinkten Musterlösung)lautet

Das ist völlig sinnlos. Wo steckt der Fehler?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit der Anweisung
Hi lustiger Peter,

Zu 2:

Zu 3: Doch, die Matrix ist weiterhin orthogonal. Wenn man die Vorzeichen umkehrt, bleiben die Vektoren normiert und paarweise orthogonal zueinander.

Zu 4: Etwas verwirrend ist es schon, aber eigentlich musst Du gar nicht mehr viel machen. Du hast Deine und , Deine neue Form lautet also:


In den Schritten 1-3 hast Du ja die Hauptachsentransformation, also die eigentliche Arbeit, bereits erledigt und nun muss das nur noch zusammengefasst werden. Letztlich ersetzt Du überall durch und vereinfachst dann zu .

Nun gehts mit 5. weiter Augenzwinkern

Zitat:
Was habe ich mir eigentlich darunter vorzustellen, wenn ich eine Quadrik in eine Normalform transformiere?

Die Normalform ist dafür da, sich vorzustellen, wie die Quadrik ungefähr aussieht. Die affine Normalform beschreibt wirklich nur den Grundtyp, also ob das Ganze im eine Parabel, Gerade, Ellipse, Hyperbel, u.s.w. ist. Für eine Übersicht zu den verschiedenen Typen kann ich Dir dieses kurze Script empfehlen.

Die euklidische Normalform verzichtet dagegen auf Zerrungen und Stauchungen und beschränkt sich auf Verschiebungen (Translationen) und orthogonale (also längenerhaltende) Abbildungen wie Drehungen und Spiegelungen.
Man kann damit die kreuz und quer im Raum verteilten Quadriken quasi zum Ursprung verschieben und einen einheitlichen Blickwinkel auf sie gewährleisten. Im Gegensatz zur affinen Normalform bleiben hier Größen- und Formunterschiede erhalten, eine flache Ellipse und ein Kreis sehen verschieden aus.

Gruß,
Reksilat.
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit der Anweisung
Hallo Reksilat,

vielen Dank. Deine Ausführung hat mir sehr geholfen. Ich glaube ich habe meinen Fehler jetzt gefunden!
Ich rechne weiter bei
5. Quadratische Ergänzung



Substitution mit z

D.h. das ganze ist eine Parabel

Korrekt?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit der Anweisung
Hab's nicht genau nachgerechnet, aber ungefähr sollte es stimmen, wobei natürlich bei das Quadrat fehlt.
Hier kann man dann auch substituieren, um den Koeffizienten auf 1 zu setzen. Das Absolutglied kann man auch noch entfernen. Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Der Lustige Peter
1. Matrix bestimmen:

Da ist leider schon der erste Fehler: Zu gehört die Matrix

.
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit der Anweisung
Also durch
krieg ich eine schöne 1 vor und durch bekomme ich dann

Soweit - so gut.
Was müsste ich jetzt machen, wenn ich Punkte auf meiner Parabel ausrechnen will, oder sie mit einer Geraden schneiden und den Schnittpunkt ausrechnen? Hilft mir da meine Gleichung weiter, die ich jetzt erarbeitet habe oder arbeite ich da sinnvoller mit meiner Ausgangsgleichung?
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Da ist leider schon der erste Fehler: Zu gehört die Matrix

.


Das ist leider richtig. Vielen Dank, Arthur! Können wir das trotzdem mal außen vor lassen? Es geht mir eher um's Prinzip nicht um das richtige Ergebnis.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Der Lustige Peter
Können wir das trotzdem mal außen vor lassen?

Wenn du also stattdessen



betrachten willst, steht dem nichts im Wege. Augenzwinkern
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Vom Rechspaß her betrachtet würde ich das auch empfehlen. Die andere Matrix hat nämlich nichtrationale Eigenwerte. Big Laugh

Für irgendwelche Punkte und Schnitte mit Gerade müsstest Du zuerst die ganzen Transformationen auch auf die Geraden anwenden und dann wieder alles zurücktransformieren. Du hast ja hier Dein Koordinatensystem verschoben, gestreckt, gedreht und gespiegelt... Irgendwelche Geraden haben damit natürlich ebenfalls eine vollkommen andere Darstellung.

Gruß,
Reksilat.
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelpunkt einer Ellipse
Ein spezielles Problem habe ich noch.
Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Ellipse? Macht man das aus der Normalform oder aus der Ursprünglichen Gleichung. Und wie macht man es.

Vielen Dank für jeden Hinweis!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelpunkt einer Ellipse
Schöne Anwendung der Normalform: smile

Transformiere doch einfach Deine Ellipse in die Normalform , dann ist Dein Mittelpunkt der Koordinatenursprung. Wenn Du jetzt die Umkehrung der zuvor ausgeführten Koordinatentransformationen auf den Nullpunkt anwendest, hast Du Deinen Mittelpunkt.

Gruß,
Reksilat.
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelpunkt einer Ellipse
Verstehe ich das richtig und der Mittelpunkt meiner Ellipse in Normalform ist (0,0)?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelpunkt einer Ellipse
Ja, das ist der Sinn einer Transformation in die Normalform. Damit wird unter Anderem die Quadrik zum Nullpunkt verschoben.

Gruß,
Reksilat.
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelpunkt einer Ellipse
Danke, du hast mich gerettet !
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