Basis einer Produkttopologie

15.09.2009, 00:38

TobeStar81

Basis einer Produkttopologie

Hi,

seien X und Y topologische Räume mit den Topologien T(X), T(Y). Jetzt ist die Produkttopologie definiert als diejenige Topologie mit der Basis
$\begin{eqnarray*} \left\{U \times V|U \in T(X), V \in T(Y) \right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt frage ich mich, wenn T(X) und T(Y) Basen B(X) bzw B(Y) haben, warum ist dann die Produkttopologie nicht definiert als diejenige Topologie mit der Basis
$\begin{eqnarray*} \left\{U \times V|U \in B(X), V \in B(Y) \right\} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß
Tobias

15.09.2009, 12:50

TobeStar81

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Hallo mal wieder,

ich habe noch ein wenig über das ganze nachgedacht... Jetzt bin ich vlt auf den Grund des Problemes gestoßen, hab aber eine andere Frage:

Ist die leere Menge in einer Basis für eine Topologie zwangsweise enthalten? Oder konstruiere ich die leere Menge durch eine leere Vereinigung von Mengen der Basis?

Gruß
Tobias

15.09.2009, 16:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von TobeStar81
Jetzt frage ich mich, wenn T(X) und T(Y) Basen B(X) bzw B(Y) haben, warum ist dann die Produkttopologie nicht definiert als diejenige Topologie mit der Basis
$\begin{eqnarray*} \left\{U \times V|U \in B(X), V \in B(Y) \right\} \end{eqnarray*}$ ?

Ich kann dir leider keine Antwort auf diese Frage geben. Eine Definition ist dazu da, etwas zu definieren und damit zu arbeiten. Wenn du es anders definieren möchtest, kannst du das tun. Aber die Definition deines Profs (oder von wem auch immer) solltest du so hinnehmen, wenn er damit arbeitet und du ihm folgen möchtest.

Es hat sich als sinnvoll erwiesen, für Produkträume mit dieser Topologie zu arbeiten. Außerdem würde sich bei deiner Variante die Frage stellen, welche $\begin{eqnarray*} \mathcal B(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal B(Y) \end{eqnarray*}$ man denn nehmen sollte, denn im Allgemeinen gibt es keine kanonischen Basen, abgesehen von $\begin{eqnarray*} \mathcal T(X) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathcal T(Y) \end{eqnarray*}$ (das sind auch Basen!).

Wenn man nun allerdings Räume mit Basen hat, kann man natürlich fragen, ob die beiden Topologien gleich sind. Es stellt sich heraus, dass $\begin{eqnarray*} \{U\times V\ |\ U \in\mathcal B(X), V \in\mathcal B(Y)\} \end{eqnarray*}$ tatsächlich immer die Basis einer Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal T_2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X\times Y \end{eqnarray*}$ ist und dass diese Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt. Dafür muss man nachrechnen, dass die Basis der Produkttopologie in $\begin{eqnarray*} \mathcal T_2 \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Wenn du offene Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ gegeben hast, dann kannst du die aber darstellen als Vereinigung von Mengen der jeweiligen Basen und dann musst du die Eigenschaften von Vereinigung und kartesischem Produkt nutzen ...

16.09.2009, 13:22

TobeStar81

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Hi,

vielen Dank für deine Antwort!
Ich benutze natürlich die Def. von meinem Prof., aber ich habe mich etwas gewundert, da im Skript direkt vor der Definition die Basis eingeführt wurde und ich mich gefragt hab, ob es ein Problem gibt, wenn man die Basis so wie ich definieren würde (ich hab mich nämlich gefragt, warum er ausgerechnet wieder auf die Topologien zurückgreift) aber hab kein Problem gefunden.

Aber das hat sich jetzt geklärt...

Vielen Dank noch mal!

Gruß
Tobias

16.09.2009, 22:34

Mathespezialschüler

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Es ist sinnvoll, dass er vorher "Basis" definiert, weil er ja zur Definition der Produkttopologie diesen Begriff benutzt!

Da du anscheinend nicht bemüht bist, auf meinen Hinweis einzugehen, mach ich das für alle anderen einfach mal schnell zu Ende:

Sei $\begin{eqnarray*} U\times V \end{eqnarray*}$ beliebig aus der Basis der Produkttopologie. Dann ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , also existieren Mengen $\begin{eqnarray*} U_i\in\mathcal B(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_j\in\mathcal B(Y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U=\bigcup_{i\in I}~U_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V=\bigcup_{j\in J}~V_j \end{eqnarray*}$ . Damit folgt

$\begin{eqnarray*} U\times V=\left(\bigcup_{i\in I}~U_i\right)\times\left(\bigcup_{j\in J}~V_j\right)=\bigcup_{i\in I}~\left(U_i\times\left(\bigcup_{j\in J}~V_j\right)\right)=\bigcup_{i\in I}~\bigcup_{j\in J}~(U_i\times V_j) \end{eqnarray*}$ .

Dies zeigt, dass die beiden Topologien übereinstimmen.

21.09.2009, 13:44

TobeStar81

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Hallo,

danke noch mal für deine Mühe, hatte mir diese Überlegung zu Hause auf einem Blatt Papier gemacht *ähem*

Hast natürlich recht, wär besser gewesen das hier rein zu stellen...

Danke nochmal

Gruß
Tobias

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