[gelöst] und wieder ein Integral welches ich nicht gelöst bekomme

15.09.2009, 10:45

petiz

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[gelöst] und wieder ein Integral welches ich nicht gelöst bekomme

Hallo Leute,

Diesesmal gehts um folgendes Integral welches ich nicht hinbekomme:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ln((x-2)^2+4)~dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun das gesamtes Argument des ln() substituiere, dann könnte ich zwar den ln() lösen, jedoch den Rest nicht mehr. Kann mir jemand helfen?

15.09.2009, 11:06

Romaxx

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RE: und wieder ein Integral welches ich nicht gelöst bekomme
Partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ln((x-2)^2+4)\cdot 1~dx \end{eqnarray*}$

15.09.2009, 11:16

O. Becker

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RE: und wieder ein Integral welches ich nicht gelöst bekomme
$\begin{eqnarray*} \ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b) \end{eqnarray*}$

Damit lässt sich der Integrand stark vereinfachen.

15.09.2009, 11:39

klarsoweit

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RE: und wieder ein Integral welches ich nicht gelöst bekomme

Zitat:

Original von O. Becker
Damit lässt sich der Integrand stark vereinfachen.

Dummerweise ist das Argument vom ln eine Summe und kein Produkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2009, 11:43

AD

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Vielleicht denkt O.Becker an den "komplexen" Umweg

$\begin{eqnarray*} \ln((x-2)^2+4) = \ln(x-2+2i) + \ln(x-2-2i) \end{eqnarray*}$ .

Wiewohl man das rein formal so machen kann und auch zu einem passenden Resultat gelangt, steht dieser Weg argumentativ auf wackligen Beinen - vorzuziehen und auch nicht länger ist der seriösere Weg von Romaxx. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.09.2009, 12:10

petiz

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Hallo und Danke schonmal für eure Antworten.

Also ich habe nun partielle Integration angewandt und komme nun auf folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} ln((x-2)^2+4)x - 2\int_{}^{}~\frac{x^2-2x}{x^2-4x+4}~dx \end{eqnarray*}$

Ich versuche gerade jetzt das rechte Integral per Partialbruchzerlegung irgendwie zu lösen, klappt nur leider irgendwie nicht so richtig unglücklich

unglücklich

In der Lösung steht auch ein arctan().. ich wüsste eh nicht wie ich auf sone Form kommen könnte

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15.09.2009, 12:17

AD

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Partialbruchzerlegung ist erst angesagt, wenn der Zählergrad echt kleiner als der Nennergrad ist. Sollte das noch nicht der Fall sein - so wie hier - ist vorher eine Polynomdivision mit Rest erforderlich!

15.09.2009, 12:24

klarsoweit

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Alternativ hilft auch eine kleine Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-2x}{x^2-4x+4} = \frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+4} + \frac{2x-4}{x^2-4x+4} \end{eqnarray*}$ smile

smile

EDIT: wenn ich das richtig sehe, hast du bei der Ableitung vom ln einen Fehler gemacht.

15.09.2009, 12:26

AD

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Mir fällt gerade ein Fehler auf: Im Nenner muss $\begin{eqnarray*} (x-2)^2+4 = x^2-4x+8 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x^2-4x+4 \end{eqnarray*}$ stehen.

15.09.2009, 12:58

O. Becker

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RE: und wieder ein Integral welches ich nicht gelöst bekomme

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von O. Becker
Damit lässt sich der Integrand stark vereinfachen.

Dummerweise ist das Argument vom ln eine Summe und kein Produkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Entweder wurde der Beitrag zwischenzeitlich editiert oder - wohl auch wahrscheinlicher - ich wurde von einer temporären Sehstörung heimgesucht, denn ich hatte da folgendes gesehen:

$\begin{eqnarray*} \int \ln((x-2)^2-4)\dd x \end{eqnarray*}$

Na ja, vielleicht wollte ich das aber auch so sehen, weil's dann so schön funzt...

Jedenfalls bitte ich somit um Nachsicht hinsichtlich meines obigen Beitrags.

15.09.2009, 13:05

petiz

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danke für den fehler... ich komme leider immer noch nicht weiter.

Das Partialbruchzerlegung noch nicht geht, habe ich verstanden. Also Polynomdivision. Aber da komme ich irgendwie auf wirsches Zeug wenn ich $\begin{eqnarray*} (x^2-2)/(x^2-4x+8) \end{eqnarray*}$ ausrechne.

und zwar auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4x-10} \end{eqnarray*}$ ... damit könnte ich zwar weiterrechnen (weil oben die Ableitung vom unteren steht, nur passt es dummerweise kein Stück zur angebotenen Lösung

15.09.2009, 13:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von petiz
Aber da komme ich irgendwie auf wirsches Zeug wenn ich $\begin{eqnarray*} (x^2-2)/(x^2-4x+8) \end{eqnarray*}$ ausrechne.

Es sollte auch $\begin{eqnarray*} (x^2-2x)/(x^2-4x+8) \end{eqnarray*}$ heißen.

Entweder rechnest du deine Polynomdivision vor oder du beherzigst meinen Tipp im vorigen Beitrag. smile

smile

15.09.2009, 13:50

petiz

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aaaaah... ich bin verwirrt.. hatte das X vergessen.

Jetzt komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x+8} \end{eqnarray*}$

und das jetzt einfach aufleiten so dass ich auf $\begin{eqnarray*} ln(2x+8) \end{eqnarray*}$ komme? ..wär ja ganz schön.. angeblich müsste halt nur irgendwie nen arctan in die Lösung mit rein. Aber vieleicht ist das dann ja auch eine Lösung.

ich muss ehrlich gestehen dass ich deinen Tipp nicht ganz verstanden hatte.

15.09.2009, 13:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von petiz
Jetzt komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x+8} \end{eqnarray*}$

Ich fürchte, daß das Ergebnis falsch ist. Du mußt dir wohl oder übel die Mühe machen und deine Rechnung hier reinschreiben.

15.09.2009, 14:18

petiz

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okay also:

Ergebnis 1
Rest (2x-8)

Das müsste nun jetzt aber richtig sein.

Also Ist das Ergebnis = 1 + 2x -8 = 2x -7 ?

15.09.2009, 14:22

kiste

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Nein du interpretierst den Rest falsch. Es bedeutet dass $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-2x}{x^2-4x+8} = 1 + \frac{2x-8}{x^2-4x+8} \end{eqnarray*}$

15.09.2009, 14:42

petiz

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stimmt, du hast recht.. habs einfach zu lange nichtmehr gemacht unglücklich

unglücklich

okay.. ich werds nochmal neu durchrechnen mit den neu erworbenen kenntnissen

Edit: habs gelöst bekommen!

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