Beweis eines Unterraums

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MacGyver84 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis eines Unterraums
Hallo zusammen,

ich plage mich gerade mit den Beweisen herum, die erforderlich sind, um zu zeigen, dass ein U ein Unterraum ist.



1. Kriterium





Somit liegt der Nullvektur in U

2. Kriterium



Zu zeigen ist, dass die Addition zwei beliebiger Vektoren aus U wiederum einen Vektor aus U ergibt.

Sei




mit den Bedingungen:



Dann ist



Wenn ich nun die Bedingungen in r + s einsetze erhält man:



und das führt wiederum zu



Ist das soweit korrekt?

Dwer Beweis der Abgeschlossenheit bezügllich Skalarmultiplikation ist bei mir öhnlich zur Addition. Allerdings würde ich gerne wissen, ob mein Ansatz für die Addition erstmal korrekt ist.

Grüße
Christoph
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

formal sind da kleine Fehler drin.

Kannst du das wirklich so schreiben?



bzw.



Du befindest dich auf der einen Seite im und auf der andere in .
MacGyver84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Romaxx,

das ist mir jetzt auch aufgefallen. Die Frage ist dann allerdings wie ich es formal richtig machen kann. Das Thema ist im Skript in der Form (sprich Aufgaben wie diese) nicht näher erläutert. Somit sind mir zwar die Kriterien bekannt anhand derer man erkennen kann, ob es sich um einen Unterraum handelt, aber es fehlen mir Beispiele. Raten möchte ich natürlich nicht.

Sehe ich es richtig, dass ich mich für einen korrekten Beweis auf beiden Seiten in befinden muss?

Laut Aufgabe geht es bei der, ich sag jetzt einfach mal, Menge bzw. Teilmenge U ja um die Vektoren, bei denen die ersten beiden Komponenten 0 bzw. die eine Komponente das additive Inverse der Anderen ist, richtig?

Was mir aufgefallen ist, ist der Fehler bei r + s
Ich habe dort r1+s1 und r2+s2 einfach in Hinblick auf die Bedingung durch 0 ersetzt, was aber falsch ist, da diese nur für r1 + r2 sowie s1 + 2 gilt.

Ich stehe momentan echt auf dem Schlauch, da sich mir die Richtung in der der Beweis gehen muss, nicht wirklich erschließt.

Grüße
Christoph
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis eines Unterraums
Am besten machst du immer schön einen Schritt nach dem anderen. Warum ist der Nullvektor in U?

Zitat:
Original von MacGyver84
Wenn ich nun die Bedingungen in r + s einsetze erhält man:



und das führt wiederum zu



Ist das soweit korrekt?

Wenn du die letzte Zeile einfach streichst und sagst, daß offensichtlich ein Element von U ist, dann ist dieser Schritt ok.

EDIT: letzteres war Quatsch. Einfach nicht hingucken. Hammer
MacGyver84 Auf diesen Beitrag antworten »



müsste aber, wie ich jetzt gemerkt habe falsch sein, da ich 0 nur dort in r+s einsetzen kann, wo sie durch die Bedingungen erfüllt ist. Diese sind aber r1 + r2 = 0 und s1 + s2 = 0 also nicht r1 + s1 = 0 bzw. r2 + s2 = 0

Der Nullvektor ist schon alleine deshalb in U weil jeder Unterraum entwerder aus dem Nullvektor alleine, oder allen Elementen aus V sprich U = V oder einer Menge von Vektoren besteht, die llinear unabhängig sind. Der Nullvektor wäre somit linear abhängig.

Wenn ich aber nun hingehen würde und z.B.

dann könnte man doch wenn


ist mit der Aufgabenstellung folgern, dass

bzw. anders

ist. Wenn ich diese Gleichung nun umforme, dann kann ich sie auf eine Form bringen, dass die anfangs genannten Bedingungen der beiden Vektoren erfüllt sind und demnach würde letztendlich 0 + 0 = 0 eine wahre Aussage ergeben.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Dir ist bereits aufgefallen dass du die Summe total verhauen hast da du mit den Variablen durcheinander gekommen bist. Allgemein gilt doch:

Jetzt musst du zeigen dass wobei du benutzen darfst dass und .
 
 
MacGyver84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Dir ist bereits aufgefallen dass du die Summe total verhauen hast da du mit den Variablen durcheinander gekommen bist. Allgemein gilt doch:

Jetzt musst du zeigen dass wobei du benutzen darfst dass und .


Ein Versuch. Die einzelnen Komponenten eines Vektors stammen aus dem entsprechenden Körper. Für Körper gilt ja, dass die Addition kommutativ ist. Somit müsste es doch erlaubt sein, dass ich wie folgt weiter mache:






In der Form sind:




und somit



Wenn das falsch ist, weiß ich auch nicht weiter smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt so.

Die Begründung für den Nullvektor ist allerdings falsch
Zitat:

Der Nullvektor ist schon alleine deshalb in U weil jeder Unterraum entwerder aus dem Nullvektor alleine,

Du weißt nicht dass U ein Unterraum ist, das willst du doch gerade zeigen
Zitat:
oder allen Elementen aus V sprich U = V

Nur ein Spezialfall
Zitat:
oder einer Menge von Vektoren besteht, die llinear unabhängig sind. Der Nullvektor wäre somit linear abhängig.

Nein ein Unterraum besteht nicht nur aus linear unabhängigen Vektoren! Er wird von jenen erzeugt! Den ist (0 0 1) im Unterraum so ja auch (0 0 2). Diese sind aber linear abhängig.
Der Nullvektor ist immer linear abhängig, das Argument ist somit völlig nutzlos.
MacGyver84 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann müsste es aber genügen, wenn ich nachweise, dass die Voraussetzung

für den Nullvektor zu einer wahren Aussage führt, oder?

Du hast Recht. Natürlich wird ein Unterraum aus ihnen erzeugt, da alle linear abhängigen Vektoren als eine endlichen Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden kann, richtig? Der Nullvektor ist natürlich immer linear abhängig.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MacGyver84
Gut, dann müsste es aber genügen, wenn ich nachweise, dass die Voraussetzung

für den Nullvektor zu einer wahren Aussage führt, oder?

Ja

Zitat:
Du hast Recht. Natürlich wird ein Unterraum aus ihnen erzeugt, da alle linear abhängigen Vektoren als eine endlichen Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden kann, richtig? Der Nullvektor ist natürlich immer linear abhängig.

Lineare Abhängigkeit macht nur im Zusammenhang mit anderen Vektoren Sinn. Vektoren sind nicht linear abhängig von alleine, sondern nur wenn man sie mit anderen zusammen betrachtet. Somit können alle Vektoren als eine endl. LK der BV geschrieben werden.
MacGyver84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann möchte ich aber noch kurz die Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation prüfen.


Sei

und


Dann ist

Unter der Bedingung, dass ich hier wie schon beim Nachweis der Addition für annehmen darf würde das zu:



Somit wäre die Aussage wahr.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt
MacGyver84 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke vielmals. Das hat mich einen ganzen Schritt weiter gebracht. Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MacGyver84
Dann ist

Ich habe zwar weiter oben Schrott geschrieben, aber das hier ist formaler Unsinn.
MacGyver84 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum?

Ich bin davon ausgegangen, dass es mit den Distributivgesetzen erlaubt ist einen Ausdruck so wie hier umzuformen?

Jetzt sagt der Eine richtig und der Andere falsch. Was stimmt nun?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

klarsoweit hat Recht. Ich hab den formalen Schwachsinn leider überflogen.
Statt eines = Zeichens gehört dort ein => hin. Ein Element aus K^3 ist wie weiter oben schon geschrieben eben nicht gleichzusetzen mit einem aus K.
Was du ausdrücken wolltest war:
Da der Vektor jetzt folgende Form hat folgt dass . Deswegen statt dem = eben ein
MacGyver84 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das ist einleuchtend. Aber streng genommen gehe ich doch eigentlich nur hin und bringe den Ausdruck in die Form der Eingangsvoraussetzung x_1 + x_2 = 0

In dem Fall steht dort nicht mehr x_1 + x_2 = 0 sondern x_1 + x_2 => 0

Ist das überhupt erlaubt?

Sorry, wenn ich so penetrant nachfrage, aber ich fange gerade erst mit dem Studium an und möchte mir von Anfang an eine möglichst solide Wissensbasis verschaffen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein jetzt hast du es an die falsche Stelle geschrieben Augenzwinkern
MacGyver84 Auf diesen Beitrag antworten »

So hätte ich das => auch positioniert. Alles Andere wäre irgendwie unlogisch, aber für mich erscheint einiges momentan unlogisch smile
Zumindest das Thema hab' ich jetzt begriffen.
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