Darstellungsmatrix der Spiegelung an einer Geraden

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frau holle Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix der Spiegelung an einer Geraden
Hallo Leute,

jetzt habe ich schon wieder ein Frage.
Das ist meine Aufgabe:

Gegeben sei die Gerade

g:
und S_g bezeichne die Spiegelung an der Geraden g. Bestimmen Sie durch das Anwenden des Projektionssatzes die darstellende Matrix von S_g bzgl. der kanonischen Basis

Mein generelles Problem ist wohl, dass ich noch nicht wirklich verstanden habe, wie man eigentlich eine Darstellungsmatrix aufstellt. Ich weiß, dass in der Darstellungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums stehen sollen, aber wie komme ich dahin?

In dieser Aufgabe soll das ja über den Projektionssatz gemacht werden.

Also das ist meine Idee:
Zu jedem Punkt P gibt es einen Vektor v, der orthogonal zu g ist, nämlich die Strecke AP zwischen Lotfußpunkt A auf der Geraden und Punkt P. Ausgehend vom Lotfußpunkt zeigt dann -v auf die Spiegelung P'.
Also müsste ich den Vektor -v auf die Urbilder der Basisvektoren anwenden und ich müsste den jeweiligen Lotfußpunkt kennen, vertstehe ich das richtig?
Aber das ist nur eine geometrische Überlegung, wie kann ich denn den Projektionssatz anwenden?


Ich bedanke mich schon mal im Voraus für eure Antworten.
LG frau holle
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt die Bilder der kanonischen Basis unter der Spiegelung bestimmen. So bekommst du die Spalten



Dann ist die Matrix die gesuchte darstellende Matrix. muß sich als orthogonal herausstellen. Da Spiegelungen die Orientierung umkehren, muß die Determinante negativ, mithin sein.

Zur Bestimmung der kannst du ganz geometrisch vorgehen. Für etwa geht das so: Du bestimmst die Ebene, die senkrecht zu steht und den zu gehörigen Punkt enthält: . Hierbei ist der Richtungsvektor von . Durch Einsetzen von aus der Geradengleichung kannst du den Parameterwert berechnen, der zum Ortsvektor des Schnittpunktes von Ebene und Gerade gehört. Dann gilt: . Mache dir unbedingt eine Zeichnung.
frau holle Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal vielen Dank für deine Hilfe, Leopold.


Das hört sich alles sehr einleuchtend an, ich habe mir eine Zeichnung gemacht und es durchgerechnet und dann habe ich gemerkt, dass in meiner Rechnung irgendwas nicht stimmen kann.

Hier ist mein Rechenweg:

für j=1:

Bestimmung der Ebene, die orthogonal zu g ist und e_1 enthält:



Es ergibt sich für den Ortsvektor des Schnittpunktes


und

sind die Koordinaten der Spiegelung von e_1.

für j=2:





für j=3:





Und letzendlich lautet meine Darstellungsmatrix




und det (T) = 9 , was ja -1 ergeben sollte, wenn ich alles richtig gemacht hätte.

Ich kann aber einfach meinen Fehler nicht finden.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das nicht alles nachgerechnet, aber es gilt:


Gruß,
Reksilat.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Womit sich meine Aussage über das Vorzeichen der Determinante als falsch erwiesen hat. Nicht jede Spiegelung kehrt offenbar die Orientierung um. Die Spiegelung an einer Geraden im Dreidimensionalen tut es offenbar nicht.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die Spiegelung an einer Geraden im ist letztlich nichts anderes, als eine Rotation um diese Gerade mit Winkel 180°. Damit ergibt auch die Determinante Sinn.

Gruß,
Reksilat.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es wohl.
frau holle Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, diese Regel für die Determinante kannte ich noch gar nicht.
Dann ist ja alles richtig! Tanzen

Vielen, vielen Dank für eure Hilfe.
Ich denke ich habs jetzt verstanden.

Nur um noch mal sicher zu gehen:
In meiner nächsten Aufgabe habe ich eine Ebene gegeben und soll die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion angeben.
Dafür muss ich jetzt also die Ebene finden, die zu der gegebenen orthogonal ist und den jeweiligen Einheitsvektor enthält.
Ich stelle die Gleichung ( mit = Richtungsvektor der Ebene ) auf und erhalte daraus die Parameter s und t, die wiederum in die gegebene Ebenengleichung eingesetzt den Ortsvektor der orthogonalen Projektion des Basisvektors angeben.
Die darstellende Matrix besteht dann also aus diesen Ortsvektoren.
In diesem Fall müsste die Determinante 0 ergeben, weil die Projektion vom R3 auf eine Ebene linear abhängig ist.
Stimmt's?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In diesem Fall müsste die Determinante 0 ergeben...
Wenn ich Vektoren auf eine Ebene, also einen echten Unterraum, projiziere, dann ist das Bild nicht mehr der ganze Raum, die Abbildung also nicht surjektiv und somit auch nicht bijektiv. Ergo ist die Determinante 0.

Zitat:
...weil die Projektion vom R3 auf eine Ebene linear abhängig ist.
Wie eine Projektion linear abhängig sein soll, verstehe ich dagegen nicht. verwirrt

Gruß,
Reksilat.
frau holle Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte die Basisvektoren, die auf die Ebene projiziert werden.
Im R3 sind sie Basisvektoren und linear unabhängig aber ihre Bilder in der Ebene sind linear abhängig. Deshalb dachte ich mir, dass wenn man eine Matrix aus ihren Bildern aufstellt die Determinante 0 sein muss. Denn die Ortsvektoren aus denen meine Darstellungsmatrix am Ende bestehen soll sind doch die Bilder der Basisvektoren, oder?

Viele Grüße,
Frau Holle
frau holle Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade habe ich gemerkt, das meine Idee zu der Aufgabe mit der orthogonalen Projektion Quatsch ist.
Um die Bilder der Basisvektoren auf der Ebene zu finden muss ich eine Gerade finden, die orthogonal zur Ebene ist. Ich benutze dann den Richtungsvektor dieser Geraden und den jeweiligen Einheitsvektor als Stützvektor für drei neue Geraden. Die Koordinaten der Schnittpunkte dieser drei Geraden mit der Ebene ergeben dann meine Darstellungsmatrix.
Ich hoffe das ist jetzt richtig.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Kontrolle: Ist die Spalte ein normierter Normalenvektor deiner Ebene, also (der Strich bezeichne die transponierte Matrix), so ergibt sich mit als Einheitsmatrix bei der senkrechten Projektion auf die Ebene



als darstellende Matrix. Das bekommt man ganz von alleine, wenn man statt mit konkreten Werten allgemein rechnet.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Schau vielleicht auch mal in diesen Thread, da wird die Herangehensweise meiner Meinung nach recht gut erklärt.

Gruß,
Reksilat.

Edit: zu spät!
frau holle Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaahhh, ja, es hat endlich "klick" gemacht.

Dass ich dafür auch immer so lange brauche unglücklich

Die beiden Aufgaben habe ich richtig gelöst (ich hatte zwar die Ergebnisse, aber die Lösungswege fehlten) Augenzwinkern

Danke nochmal für die guten Tips!
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