Basis Untervekttorraum Polynome

16.09.2009, 14:11

oerny

Basis Untervekttorraum Polynome

Hi, kann mir jemand sagen wie ich die Basis des folgenen Untervektorraums bestimmen kann und wie ich diese zu einer Basis von V ergänzen kann.

Es sei V der Vektorraum der $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ Polynome vom $\begin{eqnarray*} Grad<=2. \end{eqnarray*}$
Der Untervektorraum ist definiert durch:
$\begin{eqnarray*} p(x)=p(1-x) \end{eqnarray*}$ .

ich habe zuerst das Polynom $\begin{eqnarray*} p(1-x) \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_0+a_1x+2_2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(x-1)=a_0+a_1+a_2+x(-a_1-2a_2)+a_2x^2 \end{eqnarray*}$
und wie mach ich jetzt weiter?
ich hätte jetzt gesagt:
$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \ \ v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \ \ v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und damit wären dies drei linear unabängig und damit eine Basis von V.

Kann mir aber irgendwie nicht vorstellen das das so passen kann.

16.09.2009, 14:27

kiste

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Warum errätst du irgendwelche komischen Vektoren?
Die Bedingung p(x)=p(1-x) ergibt nach Koeffizientenvergleich 3 Bedingungen:
$\begin{eqnarray*} a_0 = a_0 + a_1 + a_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_1 = -a_1 -2a_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_2 = a_2 \end{eqnarray*}$ . Man sieht leicht dass der Untervektorraum deshalb die Dimension 1 hat. Daraus lässt sich sehr leicht ein Basisvektor bestimmen(denke daran welche Polynome immer dieselben Werte geben unabhängig der Variablen x)

16.09.2009, 14:50

oerny

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Zitat:

Original von kiste
$\begin{eqnarray*} a_0 = a_0 + a_1 + a_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_1 = -a_1 -2a_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_2 = a_2 \end{eqnarray*}$ . Man sieht leicht dass der Untervektorraum deshalb die Dimension 1 hat. Daraus lässt sich sehr leicht ein Basisvektor bestimmen(denke daran welche Polynome immer dieselben Werte geben unabhängig der Variablen x)

ok, den Koeffizentenvergleich versteh ich, aber wie komm ich jetzt auf die Dimension oder einen Basisvektor? Wie seh ich das?

unabhängig von der Variablen x ist nur $\begin{eqnarray*} a_0 = a_0 + a_1 + a_2 \end{eqnarray*}$

16.09.2009, 15:44

Manus

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Du hast doch ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen. (Ein homogenes sogar, wenn du ein bisschen umstellst). Dafür musst du jetzt nur die allgemeine Lösung finden.

Die Dimension des Unterraums ist allerdings (wenn ich mich jetzt nicht völlig verrenne) 2 und nicht 1.

16.09.2009, 17:11

oerny

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das hab ich jetzt garnicht gesehen, also bekomm ich durch umformen folgendes LGS:
I: $\begin{eqnarray*} 0=a_1+a_2 \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} 0= -2a_1-2a_2 \end{eqnarray*}$
III: $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

und damit:
$\begin{eqnarray*} A*x=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und damit die Basisvektoren von U
$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \ und \ v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und diese können z.B. durch $\begin{eqnarray*} v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von V ergänzt werden.

passt des gnaze jetzt so?

16.09.2009, 17:35

kiste

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Zitat:

Original von Manus
Die Dimension des Unterraums ist allerdings (wenn ich mich jetzt nicht völlig verrenne) 2 und nicht 1.

Jap, stimmt. Hab bei der a_1 = -a_1 -2a_2 die linke Seite übersehen Augenzwinkern

16.09.2009, 18:12

oerny

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eigentlich gnaz einfahc, wenn mans mal gesehen hat

Danke für die schnelle hilfe

17.09.2009, 09:16

eierkopf1

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RE: Basis Untervekttorraum Polynome

Zitat:

Original von oerny
ich habe zuerst das Polynom $\begin{eqnarray*} p(1-x) \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(x-1)=a_0+a_1+a_2+x(-a_1-2a_2)+a_2x^2 \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf die zweite Zeile? verwirrt

17.09.2009, 11:31

Manus

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Indem man die "x-1" ignoriert und die "1-x" einsetzt, die weiter oben stehen.

Würde man wirklich mit x-1 rechnen, so hätte der Teilraum übrigens tatsächlich Dimension 1.

17.09.2009, 12:29

eierkopf1

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Zitat:

Original von Manus
Indem man die "x-1" ignoriert und die "1-x" einsetzt, die weiter oben stehen.

Denn Fehler hatte ich eigentlich bemerkt. Augenzwinkern

Aber mir ist es jetzt klar. Ich hatte nur zuerst an etwas Anderes/Falsches gedacht.

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