Determinante bestimmen

17.09.2009, 10:51	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante bestimmen Hi! Ich habe folgende Determinante zu bestimmen: $\begin{eqnarray} \det\begin{pmatrix}n & n-1 & n-2 & \ldots & 2 & 1 \\ n-1 & n & n-1 & \ldots & 3 & 2 \\ n-2 & n-1 & n & \ldots & 4 & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 2& 3 & 4 & \ldots & n & n-1 \\ 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Habe schon einige Versuche unternommen evtl. auf Dreiecksgestalt zu bringen usw. Im Moment fällt mir aber nichts gutes mehr ein... Danke euch!
17.09.2009, 11:55	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, nennen wir die entsprechende Matrix der Größe n doch der Einfachheit halber mal $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ . Durch etwas herumprobieren, komme ich auf die Rekursion: $\begin{eqnarray} det(A_n)=2 \cdot det(A_{n-1})+2^{n-2} \end{eqnarray}$ Das ließe sich jetzt möglicherweise mit Induktion beweisen (so sie denn stimmt). Dann bräuchte man "nur noch" eine geschlossene Form. Alternative Idee wäre, zu gucken, ob man das charakteristische Polynom möglichweise einfach bekommt als die Determinante...
17.09.2009, 12:12	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Doppelpost tut mir leid, aber man kann ja nur 15min lang editieren: Die geschlossene Form der Rekursion lautet: $\begin{eqnarray} det(A_n)=2^{n-2} \cdot (n+1) \end{eqnarray}$
17.09.2009, 14:36	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante bestimmen Ok, ich hab's jetzt nochmal durch Zeilen- und Spaltenumformungen versucht und komme nach diversen Schritten darauf, dass die Determinante deiner Matrix gleich der Determinante der folgenden Matrix ist: $\begin{eqnarray} \det\begin{pmatrix}n+1 & n & n-1 & \ldots & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & \ldots & 2 & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0& 0& 0 & \ldots & 2 & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese hat ja dann genau die Determinante, welche schon oben steht: $\begin{eqnarray} det(A_n)=2^{n-2} \cdot (n+1) \end{eqnarray}$
17.09.2009, 18:45	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante bestimmen @Manus: Vielen lieben Dank, habe es nun auch hinbekommen. Entsprechende Zeilen- und Spaltenumformungen führen wirklich zum Ziel, man muss nur genau hinsehen... Ich danke dir
17.09.2009, 18:50	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ursache, war eine interessante Aufgabe. Wobei ich gerne noch verstanden hätte, woher die Rekursion kommt, bzw. ob sich die Rekursion logisch ergibt (was ich aufgrund der Summe doch zu bezweifeln wage), aber da komme ich leider nicht weiter.
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