Gleichheitsaxiom für geordnete Paare

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guest102 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheitsaxiom für geordnete Paare
Hi,

mich würde interessieren, wie der Beweis für das Gleichheitsaxiom für geordnete Paare aussieht. Also:



Zu zeigen ist:




und



Für mich sind aber beide Seiten trivial. In Worten würde ich es so erklären:

:

Ein geordnetes Paar ist eine Menge. Zwei geordnete Paare (Mengen) sind gleich, wenn alle ihre Elemente gleich sind. Aus folgt demzufolge, dass a = c und b = d.

Und umgekehrt ist es NOCH offensichtlicher. Wie beweise ich das nun formal?
guest102 Auf diesen Beitrag antworten »

PS: Mich wundert, dass es überhaupt eine Aufgabe gibt, die den Beweis eines Axioms fordert ... Das widerspricht doch der Definition eines Axioms als nicht weiter beweisbare Aussage mit vereinbartem Wahrheitswert "w".
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch kein Axiom.
Da ich mir nicht sicher bin ob dass eine Übungsaufgabe ist:
Es ist (a,b) = {{a},{a,b}}.
Falls a=c und b=d dann ist die Richtung tatsächlich trivial.

Sei also (a,b)=(c,d).
Dann ist . Also a=c. Benutze denselben Trick bloß mit Vereinigung um b=d zu zeigen.
guest102 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Das ist auch kein Axiom.


Dann steht bei Wiki vermutlich wieder mal Mist. Big Laugh

Zitat:
Original von kiste


Dann ist . Also a=c. Benutze denselben Trick bloß mit Vereinigung um b=d zu zeigen.


Den Mittelteil verstehe ich nicht (ich sehe die Schreibweise vom Durchschnitt mit diesem Indize zum ersten Mal).

PS: In meinem Buch stehen leider nur Lösungstipps. Da steht für "=>":

"Man zeige mit Fallunterscheidung oder , dann
guest102 Auf diesen Beitrag antworten »

Da haben die sich doch im Buch mit der Seite vertan, oder nicht? Das wäre dann ja der Beweis für "<=". Und für die andere Seite steht: "kein Problem", was wohl "trivial" bedeuten soll.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

=> oder <= hängen von der Formulierung ab Augenzwinkern
 
 
guest102 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
=> oder <= hängen von der Formulierung ab Augenzwinkern


Schon klar. Ist genau so formuliert, wie ich es hier geschrieben habe. smile
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Von welchem Axiomensystem gehst du denn überhaupt aus und wie genau habt ihr (bzw. das Buch) "geordnetes Paar" definiert? Davon hängt ja sehr stark ab, was überhaupt zu zeigen ist, da die Aussage 'an sich' ja ohnehin trivial ist. Wikipedia hilft da natürlich eher weniger..
guest102 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Urza
Von welchem Axiomensystem gehst du denn überhaupt aus und wie genau habt ihr (bzw. das Buch) "geordnetes Paar" definiert? Davon hängt ja sehr stark ab, was überhaupt zu zeigen ist, da die Aussage 'an sich' ja ohnehin trivial ist. Wikipedia hilft da natürlich eher weniger..


Das Buch definiert das geordnetes Paar nach Kuratowski:

Seien M, N Mengen und und . Dann ist ein geordnetes Paar (oder Dupel):



Die Trivialität der Aussage macht mir eben zu schaffen. Da kann man imo nicht ernsthaft etwas beweisen. Ich kann höchstens nochmal in folgender Form schreiben:



So, und da sieht man nun sofort, dass wenn die Mengen gleich sein sollen, a = c und b = d sein muss. Da kann ich dann höchstens als Kommentar schreiben, dass zwei Mengen gleich sind, wenn ihre Elemente alle gleich sind.
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das ist die Definition, die ja auf der Mengenlehre aufbaut. Um jetzt zu wissen, was überhaupt zu zeigen ist, muss noch bekannt sein, von welchem Axiomensystem der Mengenlehre man ausgehen soll. ZF vielleicht? Oder 'nur' naive Mengenlehre? Was man als ein Axiom betrachtet und was nicht hängt immer von Vereinbarung ab, d.h. es gibt oft mehrere Axiomensysteme zu einer Theorie, die aber letztlich auf das gleiche hinauslaufen (der Aufbau ist dann aber anders).

Falls kein formales Axiomensystem für die Mengenlehre vorgegeben ist, was man bei der Aufgabe benutzen soll, soll man vermutlich irgendwie mit intuitiv bekannten Tatsachen über Mengen argumentieren, ohne dass man intuitiv bekannte Tatsachen über geordnete Paare voraussetzt (sonst wäre es ja trivial). Die Aufgabe ist dann recht schwammig gestellt und ich verstehe deine Verwirrung. Aber wenn man mal einfach nur von der Tatsache ausgeht, dass 2 Mengen genau dann gleich sind, wenn jedes Element einer der beiden Mengen auch Element der anderen ist, dann könnte man mit dem Tipp in der Aufgabe so ansetzen:
Sei . Dann folgt , also oder . Jetzt müsste man beide Fälle zu einem Widerspruch führen.
.. So ist die Aufgabe wahrscheinlich gedacht
guest102 Auf diesen Beitrag antworten »

So macht es Sinn, ich danke dir. Ich werde später der Vollständigkeit halber auch nochmal den kompletten Beweis hier niederschreiben. Muss jetzt erstmal raus. Big Laugh

Ein bestimmtes Axiomensystem wird nicht vorausgesetzt. Es handelt sich um ein Buch für Mathematiker und Physiker, in erster Linie für Physiker. smile Die Aufgabe steht bereits am Anfang des 2. Kapitels und davor ging es nur um Logik, Junktoren, Quantoren und 3 Seiten Mengen. Also quasi "ein wenig Grundlagen".
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