Binominalkoeffizient?

18.09.2009, 17:44

Schnurz

Binominalkoeffizient?

Hi,

ich muss mich auf mein Studium vorbereiten, da gibt's aber noch einige Sachen, die in der Schule nicht behandelt wurden, z.B. der "Binominalkoeffizient".

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet das? Ich kann damit absolut nichts anfangen und Wikipedia-Erklärungen helfen mir auch nicht sonderlich weiter.

Und wie berechne ich etwas wie

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 201 \\ 98 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 23 \\ 4 \\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 23 \\ 5 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

Und wenn vor dem Koeffizienten noch ein

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^3 \end{eqnarray*}$

steht, wird's auch nicht besser.

Würde mich über Hilfe freuen.

18.09.2009, 18:02

Kopfrechner

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RE: Binominalkoeffizient?
Der Binomialkoeffizient ist definiert als

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\\end{pmatrix} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \end{eqnarray*}$

Das musst du konsequent ansetzen und erhälst dann z.B. (Fakultäten ausschreiben und kürzen):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\\end{pmatrix} = \frac{10!}{4! (10-4)!}= \frac{10*9*8*7}{1*2*3*4} \end{eqnarray*}$

Auf TR oft zu berechnen mit <nCr>, also 10<nCr>4

Wichtige Fälle sollte man unbedingt parat haben, siehe dazu z.b: Wikipedia
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 1 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , ...

Die Kenntnis der Fakultät n!, auch 0! und 1! ist wichtige Grundlage.

Gruß, Kopfrechner

19.09.2009, 18:38

Schnurz

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RE: Binominalkoeffizient?
Okay danke, das hat mir geholfen!

19.09.2009, 18:52

jester.

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Hilfreich sind in diesem Zusammenhang auch die Symmetrie des Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} \end{eqnarray*}$ sowie die Rekursionsgleichung $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du fragst, was der Binomialkoeffizient bedeuten kann, so gibt er dir die Möglichkeiten an, $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Elemente aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ohne Zurücklegen auszuwählen. So gibt zum Beispiel beim Lotto 6 aus 49 ohne Super- und Zusatzzahl genau $\begin{eqnarray*} \binom{49}{6} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, Kugeln zu ziehen.

Zitat:

Und wenn vor dem Koeffizienten noch ein

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^3 \end{eqnarray*}$

steht, wird's auch nicht besser.

In diesem Zusammenhang wird oft der binomische Lehrsatz eingeführt, der da sagt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}=(x+y)^{n} \end{eqnarray*}$ .
Als Spezialfall davon kann man dann z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ berechnen, oder auch dann entsprechend die Summe bis $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ .

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