Verknüpfungen

18.09.2009, 23:09

D@Npower

Verknüpfungen

Guten Abend miteinander!

Die zu lösende Aufgabe lautet wie folgt: Es sind alle zweistelligen Verknüpfungen * auf der Menge M : = {e, a, b} , so dass (M, *) eine Gruppe mit Neutralelement e ist. Hat es abelsche Gruppen?

Also, zuerst habe ich alle möglichen Verknüpfungen aufgeschrieben:

(1) a * b * e = ... = b * a * e

(2) a + b * e = ...

(3) a * b + e = ...

(4) a + b + e = ... = b + e + a

Meiner Meinung (bzw. nach meinem Verständnis..) wäre (1) eine abelsche Gruppe und (4) eine abelsche Halbgruppe.

Stimmt das?

19.09.2009, 00:54

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

wieso steht da ein + sowie ein *
eine Gruppe ist ja eine Menge mit einer inneren Verknüpfung. nicht zwei.

mfg.

19.09.2009, 12:55

D@Npower

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh..
also wie ist denn das genau gemeint?

Z.B so:
(a * b ) = (b * a) = e wäre eine Gruppe, also eine Lösung der Aufgabe?

19.09.2009, 16:02

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Per definitionem gibt es ein neutrales Element, nämlich e, und deine Bedingung stellt auch noch die Existenz von Inversen sicher. Was aber ist mit den weiteren Gruppeneigenschaften? So ist z.B. deine Operation * gar noch nicht überall definiert, also noch nicht einmal linkstotal, von der Assoziativität ganz zu schweigen...

19.09.2009, 21:07

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

(a * b ) = (b * a) = e wäre eine Gruppe, also eine Lösung der Aufgabe?

Dort steht nur eine Aussage und keine Gruppe. Eine Gruppe besteht aus einer Menge (die hast Du ja schon, hier: M) und einer Verknüpfung (die muss von Dir definiert werden). Die Verknüpfung kann man zum Beispiel mit einer Gruppentafel angeben. Schreib Dir doch einfach mal alle möglichen Gruppentafeln auf.

Gruß,
Reksilat.

20.09.2009, 00:02

D@Npower

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Ich habe mich ein wenig schlau gemacht über Gruppentafeln.

Man kann die möglichen "Gruppierungen" doch auch in Permutationen aufschreiben, nicht?

Ich habe nun folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E = \begin{pmatrix} e & a & b \\ e & a & b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_1= \begin{pmatrix} e & a & b \\ e & b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_2= \begin{pmatrix} e & a & b \\ b & a & e \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_3= \begin{pmatrix} e & a & b \\ a & e & b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_4= \begin{pmatrix} e & a & b \\ a & b & e \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_5= \begin{pmatrix} e & a & b \\ b & e & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

..man kann dann eine Tabelle bilden, wie auf dieser Seite:
http://topcat.iit.bme.hu/~fercsi/docs/bo...ap_5/node54.htm

(die Bezeichnungen habe ich extra angeglichen, sodass die Tabelle auch für meine Werte stimmt)

Wie kann ich nun alle zweistelligen Verknüpfungen * auf der Menge M : = {e, a, b} beschreiben, so dass (M, *) eine Gruppe mit Neutralelement e ist?

20.09.2009, 00:15

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Permutationen haben nichts mit Deiner Aufgabe zu tun, auf der verlinkten Seite geht es um Permutationsgruppen, deren Elemente nunmal Permutationen sind. Hier geht es um eine beliebige Gruppe, über deren Elemente Du nichts genaues weißt.

Schreibe Dir doch einfach mal eine Tabelle für Deine Gruppentafel auf und fülle aus, was Du bereits weißt.
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &e&a&b\\ \hline e&&&\\ \hline a&&&\\ \hline b&&&\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

Immerhin soll ja $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ das neutrale Element sein, da kann man ja schon ein paar Felder ausfüllen.

Gruß,
Reksilat.

20.09.2009, 00:48

D@Npower

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline *&e&a&b\\ \hline e&e&a&b\\ \hline a&a&a^2&ab\\ \hline b&b&ab&b^2\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

..du hast vorher von mehreren Gruppentafeln gesprochen, daher weiss ich nicht, ob meine Tafel nun stimmt oder eben nicht..

Vielen Dank für die Hilfe!

20.09.2009, 01:01

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

In dieser Gruppe gibt es nur drei Elemente und deshalb müssen $\begin{eqnarray*} a^2,b^2,ab,ba\in\{a,b,e\} \end{eqnarray*}$ liegen. Du musst nun herausbekommen, was an den entsprechenden Stellen stehen kann. So ist beispielsweise sicherlich $\begin{eqnarray*} a*a\neq a \end{eqnarray*}$ , also muss an dieser Stelle in der Gruppentafel $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ stehen. Das macht man dann auch mit den anderen Einträgen und kann dann mit den Gruppenaxiomen untersuchen, wann M zu einer Gruppe wird.

Mehrere Gruppentafeln kann es geben, wenn es mehrere Verknüpfungen gibt, mit denen M zu einer Gruppe wird.

20.09.2009, 01:13

D@Npower

Auf diesen Beitrag antworten »

Folgende Einträge würde ich als Gruppe betrachten:

(1) a * e = e * a = a

(2) b * e = e * b = b

..dabei wären beide abelsch..

Sind das die gesuchten Gruppen?

20.09.2009, 01:43

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

...Sind das die gesuchten Gruppen?

Nochmal: Ein Eintrag ist keine Gruppe! Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung - und wir wollen die Verknüpfung erst finden. Ob da etwas abelsch ist, ist vorerst unwichtig.

Schau Dir einfach mal die Tabelle an:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline *&e&a&b\\\hline \hline e&e&a&b\\ \hline a&a&&\\ \hline b&b&&\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

Die erste Zeile/Spalte ist klar, da ja $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ unser neutrales Element sein soll. Jetzt überlege Dir doch bitte, welche Möglichkeiten es gibt, die restlichen vier freien Felder auszufüllen, so dass das Ganze die Gruppenaxiome erfüllt.

Bin vorerst weg,
Gute Nacht. Schläfer

20.09.2009, 09:56

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

In einem Punkt hat S@Npower, nach dem was ich hier schon gelesen habe möchte ich fast sagen "ausnahmsweise", recht: Das Beispiel hat sehr wohl viel mit Permutationen der Menge {e,a,b} zu tun.

Zunächst sind in einer Gruppe die Gleichungen

x*u=v und u*y =v

für beliebige u,v in {e,a,b} eindeutig lösbar, was äquivalent dazu ist, dass sowohl die Zeilen, als auch die Spalten der Operationstafeln Permutionen auf {e,a,b} sind.

Es muss ein Einselement e geben, d.h., ein Element, für die entsprechende Permutation sowohl in der Zeile, als auch in der Spalte die identische ist.

Die Operation ist schließlich genau dann assoziativ, wenn sämtliche Permutionen, welche als Zeilen ausgewählt wurden, mit sämtlichen Permutionen, welche als Spalten ausgewählt wurden, vertauschbar sind. Ist die Operation kommutativ, so genügt es sogar zu fordern, dass sämtliche Permutationen, die als Zeilen ausgewählt wurden untereinander vertauschbar sind.

20.09.2009, 11:39

D@Npower

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gruppenaxiome erfüllen würde meiner Meinung nach:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline *&e&a&b\\\hline \hline e&e&a&b\\ \hline a&a&b&e\\ \hline b&b&e&a\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

zudem ebenfalls:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline *&e&a&b\\\hline \hline e&e&a&b\\ \hline a&a&e&b\\ \hline b&b&b&e\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline *&e&a&b\\\hline \hline e&e&a&b\\ \hline a&a&e&a\\ \hline b&b&a&e\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

20.09.2009, 12:43

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast weiter oben alle Permutationen auf {e,a,b} richtig angegeben, nämlich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e & a & b \\ e & a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & a & b \\ e & b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & a & b \\ b & a & e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & a & b \\ a & e & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & a & b \\ a & b & e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & a & b \\ b & e & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber verwendest dann in der zweiten und dritten Tafel Zeilen und Spalten, die hier in der Auflistung der Bildelemente gar nicht vorkommen, wie z.B. die Zeilen b,b,e oder a,e,a...

In der ersten Tafel sind wenigstens alle Zeilen und Spalten Permutationen von {e,a,b}, aber es fehlt noch der Nachweis der Assoziativität...

20.09.2009, 13:24

D@Npower

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, das heisst, folgende Tafeln sind richtig:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline *&e&a&b\\\hline \hline e&e&a&b\\ \hline a&a&b&e\\ \hline b&b&e&a\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline *&e&a&b\\\hline \hline e&e&b&a\\ \hline a&a&e&b\\ \hline b&b&a&e\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

Den Nachweis der Assoziativität..den kann man nicht einfach so machen:
a * e = e * a = a

?

20.09.2009, 16:36

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

In der zweiten Operationstafel ist e nicht neutrales Element... Deine Bedingung für die Assoziativität ist klar falsch, entweder du benützt die Bedingung, die ich oben angegeben habe oder googlest im Internet, wie sie ursprünglich definiert ist...

20.09.2009, 17:53

D@Npower

Auf diesen Beitrag antworten »

" Die Operation ist schließlich genau dann assoziativ, wenn sämtliche Permutionen, welche als Zeilen ausgewählt wurden, mit sämtlichen Permutionen, welche als Spalten ausgewählt wurden, vertauschbar sind. Ist die Operation kommutativ, so genügt es sogar zu fordern, dass sämtliche Permutationen, die als Zeilen ausgewählt wurden untereinander vertauschbar sind. "

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline *&e&a&b\\\hline \hline e&e&a&b\\ \hline a&a&b&e\\ \hline b&b&e&a\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline *&e&a&b\\\hline \hline e&e&b&a\\ \hline a&a&e&b\\ \hline b&b&a&e\\ \hline\end{array} \end{eqnarray*}$

Nach deiner Definition wäre also die ganze erste Tafel assoziativ, richtig?
..während dem die zweite Tafel nicht assoziativ ist (nicht mal kommutativ)

20.09.2009, 18:27

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die erste Tafel definiert tatsächlich eine Gruppe, für die zweite existiert ja nicht mal ein Einselement, also kann man hier schon aufhören mit der Überprüfung der Gruppenbedingungen...

20.09.2009, 18:46

D@Npower

Auf diesen Beitrag antworten »

Frage: ist die erste Tafel nicht die Einzige?

ich frage, weil beispielsweise e * e = e ist und auch bleibt, wie auch a * e = a ist und bleibt (etc..)

..das heisst: alle "Werte" in der Spalte sowie Zeile "e" sind sozusagen gegeben, somit kann ich die anderen Werte (mit meinen Permutationen) gar nicht mehr anders aufführen, als in der ersten Tafel..

20.09.2009, 21:35

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe auch nirgendwo behauptet, dass dies nicht die einzige Möglichkeit ist...

20.09.2009, 22:20

D@Npower

Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe..stimmt!
Eine letzte Frage hätte ich allerdings noch: Wie fasst man nun die Lösungen mathematisch richtig zusammen - also wie schreibt man das richtig?

..die Tafel kann ich ja nicht einfach so stehen lassen, oder?

21.09.2009, 08:14

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einem genauerem Blick auf die Tafel wirst du sehen, dass alle Ellemente sich als Potenzen on a darstellen lassen, nämlich

$\begin{eqnarray*} a^0=e,\qquad a^1=a,\qquad a^2=b \end{eqnarray*}$

und gerechnet wird so

$\begin{eqnarray*} a^i a^j = a^{i+j \mod 3} \qquad i,j =0,1,2 \end{eqnarray*}$

Deine Gruppe ist also nichts anderes als die zyklische Gruppe mit 3 Elementen. Dieses Ergebnis ist ein Spezialfall von

Satz: Zu jedem n>0 gibt es mindestens eine Gruppe mit n Elementen, nämlich die zyklische Gruppe mit n Elementen. Ist n eine Primzahl, so gibt es (abgesehen von der Bezeichnungsweise) auch nur diese.

21.09.2009, 19:15

D@Npower

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic
Die Operation ist schließlich genau dann assoziativ, wenn sämtliche Permutionen, welche als Zeilen ausgewählt wurden, mit sämtlichen Permutionen, welche als Spalten ausgewählt wurden, vertauschbar sind. Ist die Operation kommutativ, so genügt es sogar zu fordern, dass sämtliche Permutationen, die als Zeilen ausgewählt wurden untereinander vertauschbar sind.

Allerletzte Frage smile

Könntest du mir eventuell erklären, wie du auf diese Aussage gekommen bist?

Vielen Dank! smile

21.09.2009, 20:50

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Assoziativgesetz in (G,.) besagt in seiner usprünglichen Form, dass für beliebige $\begin{eqnarray*} a,b,x \in G \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} (ax)b = a(xb). \end{eqnarray*}$

Mit den durch

$\begin{eqnarray*} x \mapsto ax \quad bzw. \quad x \mapsto xb \end{eqnarray*}$

definierten Abbildungen $\begin{eqnarray*} L_a: G \to G \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} R_b: G \to G \end{eqnarray*}$ (genannt Linksmultiplikation mit a bzw. Rechtsmultiplikation mit b) kann man das dann auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} \forall x \in G: R_b(L_a(x)) = L_a(R_b(x)) \end{eqnarray*}$

was wiederum nichts anderes bedeutet als die Vertauschbarkeit von $\begin{eqnarray*} L_a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R_b \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} a,b \in G. \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Verknüpfungen

Verwandte Themen