Summenverteilung

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0Ahnung Auf diesen Beitrag antworten »
Summenverteilung
Aufgabe:

Seien N,Y_1 ,Y_2,... stochastisch unabhängig mit

P{Y_i=1}=1-P{Y=0}=p

Welche Verteilung hat S=Y_1 + ... + Y_N

wenn N Poisson-verteilt mit Parameter \lambda ist

Lösungsversuch:
---------------

N ~ Poi(\lambda)

Die erzeugende Funktion der Poisson-Verteilung ist:

EF_N(z) = e^(\lambda*(z-1))

P(Y_i=1) = p und P(Y_i = 0) = 1-p

Die erzeugende Funktion der Summe S, ist dann:

EF_S(z) = e^(\lambda*(p*z + (1-p)*z^0 - 1))
= e^(\lambda*(p*z - p)

Ist nun P(S=k) = (EF_S(0)^(k))/k! ?

Muss ich nur noch differenzieren und habe dann die Verteilung?

Gruß,
0Ahnung
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 0Ahnung
N ~ Poi(\lambda)

Die erzeugende Funktion der Poisson-Verteilung ist:

EF_N(z) = e^(\lambda*(z-1))

Das kannst du auch in der anderen Richtung lesen: D.h., wenn du eine erzeugende Funktion von dieser Struktur hast, dann gehört die zu einer Poissonverteilung mit dem entsprechend ablesbaren Parameter.

Und jetzt schau dir dein Ergebnis



nochmal ganz genau an...
0Ahnung Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur!

Vielen Dank für die Hilfe.
Somit ist S Poi(lambda*p) verteilt.

Gruß,
0Ahnung
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Freude

Freut mich, dass ich heute auch noch vernünftige Fragen hier im Stochastik-Forum zu sehen kriege. Augenzwinkern
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