Goniometrische Gleichungen

20.09.2009, 11:08	Mr.Miagy	Auf diesen Beitrag antworten »
Goniometrische Gleichungen Hallo zusammen! Mein Problem ist dass ich nicht folgende goniometrische Gleichungen so umformen kann dass ich aus der umgeformten Form die Lösungsmenge ermitteln kann! Ich war auch schon im Forum unterwegs aber ich habe momentan einfach ein Brett vorm Kopf dass mich daran hindert es zu verstehen.... $\begin{eqnarray} 2\cos(x) + 3\sin(x) = 2 \end{eqnarray}$ Dass soll so umgeformt werden dass herauskommt: $\begin{eqnarray} 13\sin^2(x)- 12\sin(x) = 0 \end{eqnarray}$ oder hier: $\begin{eqnarray} 2\sin(x) - 4\cos(x) = - 1 \end{eqnarray}$ Dass soll so umgeformt werden dass herauskommt: $\begin{eqnarray} 20\sin^2(x)+4 \sin(x) - 15= 0 \end{eqnarray}$ Also ich weiß wie ich auf meine Lösungen komme wenn ich die umgeformte Form gegeben habe... aber ich weiß nicht wie ich die Umformung mache! Es wäre sehr nett wenn mir jemand bei diesen zwei Aufgaben die Umformung zeigen könnte!
20.09.2009, 11:17	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Bringe Sinus oder Kosinus auf die andere Seite,quadriere dann beiden Seiten und benutze am Schluss sin²x+cos²x=1
20.09.2009, 17:05	Mr.Miagy	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weis leider nicht wie ich sin^x+cos^2x=1 benutzen soll.... kannst du mir nicht den lösungsweg aufschreiben?
21.09.2009, 22:04	Mr.Miagy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte hilt mir einer, ich komme da nicht drauf weil ich nicht weis wie ich diese Formel anwenden soll!! ich verzweifle!
21.09.2009, 22:43	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Forme $\begin{eqnarray} (sin\,\, x)^2 + (cos\,\, x)^2 = 1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} cos\,\, x \end{eqnarray}$ um und setze es in Deine Gleichung ein.
21.09.2009, 22:49	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fand ich Bjoern's Vorschlag simpler, denn das Plusminus wird ärgerlich. Also würde ich immer noch dabei bleiben, bei erster Aufgabe z.B. den Sinus auf die andere Seite zu bringen, zu quadrieren, +4sin²(x) - 4sin²(x) also 0 zu addieren und dann die Formel anzuwenden. Das geht einfacher glaube ich.
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22.09.2009, 07:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder so, damit handelt man sich nämlich keine Scheinlösungen ein, wie es oben beim Quadrieren eben leider passieren kann.
22.09.2009, 14:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und weil es so schön ist, noch eine Variante, die allerdings nur im konkreten Fall funktioniert: Aus der bekannten Beziehung $\begin{eqnarray} \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2 x \end{eqnarray}$ folgt, wenn man $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ ersetzt, $\begin{eqnarray} 1 - \cos(x) = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ . Das verwenden wir beim zweiten Schritt: $\begin{eqnarray} 2 \cos x + 3 \sin x = 2 \ \ \Leftrightarrow \ \ 3 \sin x = 2 \left( 1 - \cos x \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ 3 \sin x = 4 \sin^2 \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ Und links wird nun $\begin{eqnarray} \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ verwendet: $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ 6 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} - 4 \sin^2 \frac{x}{2} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \sin \frac{x}{2} \cdot \left( 3 \cos \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \right) = 0 \end{eqnarray}$ Damit zerfällt die Gleichung in zwei einfache Bestandteile. Beim Nullsetzen der Klammer kann man nach Division durch $\begin{eqnarray} \cos \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ den Tangens ins Spiel bringen.

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