Beweis mit Wilson

21.09.2009, 13:37

Zadu

Beweis mit Wilson

Hallo,
Brauche etwas Hilfe bei folgender Aufgabe
Beweise mit dem Satz von Wilson
(p ist eine Primzahl genau dann wenn $\begin{eqnarray*} (p-1)! \equiv -1 \mod p \end{eqnarray*}$ )
folgende Aussage

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot ... \cdot (p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \mod p \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
habe mir gedacht man könnte dass so machen

1*2²*3²*...*(p-2)²=((p-1)!)² - 2²*4²*...*(p-1)²

man sieht ((p-1)!)² $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 1 mod p

und wie es jetzt weiter gehen könnte fällt mir nicht ein
erbitte daher einen Hinweis Gott

tigerbine: latex geht im titel nicht.

21.09.2009, 14:11

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RE: Beweis mit Wilson

Zitat:

Original von Zadu
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot ... \cdot (p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \mod p \end{eqnarray*}$

Rechnen wir doch mal für p=5 nach. Links steht dann

$\begin{eqnarray*} 1\cdot 2^2 \cdot 3^2 = 36 \end{eqnarray*}$

und rechts

$\begin{eqnarray*} (-1)^{\frac{p+1}{2}} = (-1)^3 = -1 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} 36 \equiv 1 \neq -1\bmod 5 \end{eqnarray*}$ , also ist deine Aussage zumindest im Fall p=5 falsch.

21.09.2009, 14:16

Zadu

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ooops da ist mir wohl ein kleiner schreibfehler unterlaufen Hammer

es muss natürlich heißen

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot... \cdot (p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \mod p \end{eqnarray*}$

21.09.2009, 14:20

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Zitat:

Original von Zadu
ooops da ist mir wohl ein kleiner schreibfehler unterlaufen

Wohl eher ein größerer ... zumindest ist nun die Aufgabe überhaupt erst interessant geworden. Augenzwinkern

Tipp:

$\begin{eqnarray*} 1 &\equiv& 1-p = (-1) \cdot (p-1) \bmod p \\ 3 &\equiv& 3-p = (-1) \cdot (p-3) \bmod p \\ \ldots && \ldots \\ p-2 &\equiv& -2 = (-1) \cdot 2 \bmod p \end{eqnarray*}$

22.09.2009, 18:26

Zadu

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OK danke ich denke ich habs

also als erstes schreiben wir die Quadrate auseinander

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot... \cdot (p-2)^2 = 1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (p-2)) \cdot (p-2) \cdot (p-4) \cdot ... \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Mit dem Tipp folgt

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (p-2)) \cdot (p-2) \cdot (p-4) \cdot ... \cdot 1 <br /> \equiv (-1)^{(p-1)/2) } \cdot (p-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot (p-2) \cdot (p-4) \cdot ... \cdot 1 = (-1)^{(p-1)/2) } \cdot (p-1)! \bmod p \end{eqnarray*}$

Wenn wir jetzt noch den Satz von Wilson einsetzen bekommen wir genau die Aussage

Entschuldigt bitte die Schreibweise aber irgent wie bekomme ich das mit Latex nicht so richtig hin
Freude

22.09.2009, 18:34

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Stimmt.

Zitat:

Original von Zadu
Entschuldigt bitte die Schreibweise aber irgent wie bekomme ich das mit Latex nicht so richtig hin

Ist doch so schlecht nicht - außerdem zählt auch der gute Wille! smile

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