Äquivalenzrelation zeigen

22.09.2009, 00:00

Sonnenschein1

Äquivalenzrelation zeigen

Hallo,
ich möchte gerne zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_1\sim_m a_2 \Leftrightarrow | a_1-a_2| \end{eqnarray*}$ ist durch m teilbar, eine Äquivalenzrelation ist.
Also habe ich ja die drei Eigenschaften der Äquivalenzrelation zu zeigen.
Reflexivität,
Symmetrie
Transitivität

Jetzt bin ich mir aber schon bei der Reflexivität unsicher.
Ich habe ja zu zeigen $\begin{eqnarray*} a_1 \sim a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | a_1 -a_1| =0 \end{eqnarray*}$ . Da Null geteilt durch m immer eine ganze Zahl ergibt, ist die Reflexivität erfüllt.

Stimmt das so?

Oder kann ich auch so argumentieren, dass ich sage, wenn eine Zahl durch m teilbar ist, muss sie selbst durch m teilbar sein... hört sich etwas komisch an, aber ich kann mir unter der Reflexivität noch nicht so wirklich was vorstellen. Gibt es auch Fälle, in der die Reflexivität nicht erfüllt ist?

Die Symmetrie glaube ich richtig bewiesen zu haben. Es ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} a_1\sim_m a_2 \Leftrightarrow a_2\sim_m a_1 \end{eqnarray*}$
und dies gilt da $\begin{eqnarray*} | a_1-a_2| =| a_2-a_1| \end{eqnarray*}$ wegen dem Betrag und da wir vorausgesetzt haben, dass die linke Seite durch m teilbar ist, folgt daraus, dass die rechte Seite auch durch m teilbar ist.

Jetzt noch zur Transitivität:
es ist zu zeigen
$\begin{eqnarray*} (a_1\sim_m a_2) \land( a_2\sim_m a_2 )\Rightarrow a_1\sim_m a_3 \end{eqnarray*}$
Wir setzen also voraus, dass $\begin{eqnarray*} | a_1-a_2| \end{eqnarray*}$ durch m teilbar ist und dass $\begin{eqnarray*} | a_2-a_3| \end{eqnarray*}$ durch m teilbar ist.
Das kann ich vielleicht irgendwie damit zeigen, dass $\begin{eqnarray*} | a_1-a_2| \end{eqnarray*}$ dann ein Vielfaches von m sein müssen, ebenso wie $\begin{eqnarray*} | a_2-a_3| \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} | a_1-a_2| *m=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | a_2-a_3| *m=q \end{eqnarray*}$
Jetzt könnte ich jeweils nach m auflösen und das gleichsetzen. Bringt mir das was?

Und habe ich das alles richtig aufgeschrieben... Mir kommt das alles noch so schwammig vor.

Vielen Dank für eure Tipps schon mal im Voraus.
Gruß, Sonnenschein 1

22.09.2009, 02:20

Zellerli

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Mit der Reflexivität hast du Recht. $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist ohne Rest durch $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ teilbar. Wobei man da natürlich aufpassen muss, aus welcher Menge $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kommt (nicht dass das z.B. eine $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist Augenzwinkern

)
Aus welcher Menge kommen übrigens deine $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ?

Jetzt zur Transititvität:
Der Ansatz mit dem Vielfachen ist schon nicht schlecht. Einfacher ist es sicher, wenn du innen ansetzt: Wie hängen denn $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ bei erfüllter Bedingung zusammen?

22.09.2009, 11:01

Mystic

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RE: Äquivalenzrelation zeigen
Hier ein Tipp, der alles sehr viel einfacher macht: Überleg dir zuerst, dass generell gilt

$\begin{eqnarray*} a|b \Leftrightarrow |a| ~|~ |b| \end{eqnarray*}$

d.h., Vorzeichen sind für die Teilbarkeit vollkommen irrelevant und nimm dann statt deiner Definition die äquivalente

$\begin{eqnarray*} a_1\sim_m a_2 \Leftrightarrow m | a_1-a_2 \end{eqnarray*}$

d.h., lass die störenden Betragsstriche einfach weg...

22.09.2009, 14:16

Sonnenschein1

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Hallo,
vielen Dank erstmals für eure Antworten.

@Zellerli

Also es gilt $\begin{eqnarray*} a_i \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\not= 0 \end{eqnarray*}$ . Somit ist die 0 bie m also ausgeschlossen und man darf duch m teilen.

Zitat:

Wie hängen denn $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ bei erfüllter Bedingung zusammen?

Ich verstehe nicht ganz worauf, du rauswillst... hmm.. vielleicht habe ich da unten was falsch geschrieben

Zitat:

Also $\begin{eqnarray*} | a_1-a_2| *m=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | a_2-a_3| *m=q \end{eqnarray*}$

und es müsste eigentlich heißen $\begin{eqnarray*} | a_1-a_2| =p*m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} | a_2-a_3| =q*m \end{eqnarray*}$ .

Da | $\begin{eqnarray*} a_1-a_2| \end{eqnarray*}$ ja ein Vielfaches von m ist, muss es wenn wir es durch m teilen, immer noch eine ganze Zahl ergeben. Also $\begin{eqnarray*} p\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Irgendwie komme ich aber immer noch nicht auf die Transitivität...

Ich habe es mal noch anders versucht. Du hast ja geschrieben, ich soll innen ansetzen. Kann ich das also auch so schreiben?

$\begin{eqnarray*} a_1*z_1=a_2 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a_2*z_2=a_3 \end{eqnarray*}$

Dann würde damit ja folgen

$\begin{eqnarray*} a_1*z_1*z_2=a_3 \end{eqnarray*}$

und wenn ich $\begin{eqnarray*} z_1*z_2=z_3 \end{eqnarray*}$

setze, ist die Transitivität gezeigt, da $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ wieder eine ganze Zahl ist.

Darf ich das so machen?

@Mystic

an deinem Tipp habe ich noch zu knabbern... Also ich stimme zu, wenn wir uns im Bereich der Natürlichen Zahlen befinden. Es gilt aber

$\begin{eqnarray*} a_i \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\not= 0 \end{eqnarray*}$
Das hatte ich im ersten Beitrag vergessen zu erwähnen.

Wenn nun a positiv und b negativ ist, ist der Quotient doch negativ. Der Betrag des Quotienten aber positiv...

Also darf ich die Betragsstriche doch nicht weglassen, oder?

Oder meintest du, dass das unterschiedliche Vorzeichen sich nicht auf die Teilbarkeit auswirkt, und ich es deshalb in diesem Fall unbeachtet lassen kann?
Also dass wenn 10 durch 5 teilbar ist, auch -10 durch 5 teilbar ist. Ob das Ergebnis nun 2 oder -2 ist, interessiert mich nicht, nur dass Teilbarkeit erfüllt ist.

22.09.2009, 15:12

Mystic

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Zunächst einmal ist die Teilbarkeit | eine Relation die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ definiert ist und zwar in folgender Weise

$\begin{eqnarray*} a | b : \Leftrightarrow \exists u \in \mathbb Z: au=b \end{eqnarray*}$

Da mit au=b sofort auch die 3 weiteren Gleichungen (-a)(-u)=b, a(-u)=-b, (-a)u=-b gelten, sieht man sofort, dass

$\begin{eqnarray*} a|b \Leftrightarrow \pm a | \pm b \end{eqnarray*}$

für jede der 4 Möglichkeiten das Vorzeichen von a und b zu wählen. Insbesondere kann ich also Betragsstriche setzen oder auch weglassen, ohne damit die Teilbarkeit (oder Nichteilbarkeit) von b durch a in irgendeiner Weise zu beeinflussen. Das genau habe ich mit meiner Bemerkung oben gemeint.

22.09.2009, 15:30

Sonnenschein1

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ja, jetzt ist mir die Sache klar...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a | b : \Leftrightarrow \exists u \in \mathbb Z: au=b \end{eqnarray*}$

Damit kann ich dann auch die Transitivät zeigen, so wie ich es oben versucht habe. Das war wohl das was Zellerli oben mit "innen ansetzen" gemeint hat.
und $\begin{eqnarray*} au=b \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}=u \end{eqnarray*}$ .

Dann sieht man auch, dass es sich um eine Teilbarkeitsrelation handelt. Es gilt dann a teilt b.

22.09.2009, 20:55

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Zellerli
Wobei man da natürlich aufpassen muss, aus welcher Menge $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kommt (nicht dass das z.B. eine $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist Augenzwinkern

)

Wo wäre in diesem Fall das Problem?

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