Mächtigkeit reeller Zahlen; Bijektion

23.09.2009, 12:44

TobeStar81

Mächtigkeit reeller Zahlen; Bijektion

Hallo,

ich habe mal eine Frage zur Mächtigkeit der reellen Zahlen. Bekanntlich existiert ja eine Bijektion zwischen (0,1) und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Nun betrachte ich mal das Intervall [0,1]. Zunächst mal die Frage, sind [0,1] und (0,1) gleichmächtig? Wenn ja, wie lautet die entspr. Bijektion?

Nun bin ich auf die Behauptung gestoßen, dass die Mengen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{0,1,...,9\right\}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ (Menge der Folgen mit Gliedern von 0 bis 9) gleichmächtig sind und das in Zusammenhang mit der Dezimaldarstellung jeder reellen Zahl. Ich finde aber schon keine Bijektion zwischen dieser Menge und [0,1]. Ich hab´s probiert mit

$\begin{eqnarray*} s:\left\{0,1,...,9\right\}^{\mathbb{N}} \rightarrow [0,1], (x_1,x_2,x_3,...) \mapsto \sum_{k=1}^{\infty} x_k \cdot 10^{-k} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist surjektiv, aber nicht injektiv, denn z.B. ist $\begin{eqnarray*} s(1,0,0,0,...)=s(0,9,9,9,9,...) \end{eqnarray*}$ (geometrische Reihe!). Das betrifft zwar nur abzählbar viele Zahlen, die zwei Urbilder haben, aber würde das nicht sogar bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} \left\{0,1,...,9\right\}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine größere Mächtigkeit hat als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , obwohl ich spontan gesagt hätte, dass $\begin{eqnarray*} \left\{0,1,...,9\right\}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist...

Es wäre sehr nett von euch, wenn mir jemand das mit der Mächtigkeit erklären würde, gerne an diesem Bsp, aber wenn es zu umständlich ist, wären auch andere Bsp in Ordnung oder bloße Hinweise... Also, meiner Info nach sind zwei Mengen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.

Gruß
Tobias

23.09.2009, 13:28

Mazze

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Zitat:

Also, meiner Info nach sind zwei Mengen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.

Das ist die Definition ja Augenzwinkern

.

Für die Gleichmächtigkeit von [0,1] und (0,1) musst Du doch garkeine Funktion mehr finden wenn Du schon weisst das $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und (0,1) gleichmächtig sind. Wegen $\begin{eqnarray*} (0,1) \subset [0,1] \end{eqnarray*}$ kann (0,1) höchstens Gleichmächtig zu [0,1] sein. Wegen $\begin{eqnarray*} [0,1] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann [0,1] höchstens Gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sein. Nun sind (0,1) und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aber gleichmächtig. Damit ist [0,1] also höchstens gleichmächtig zu (0,1). Damit sind (0,1) und [0,1] gleichmächtig.

Zitat:

aber würde das nicht sogar bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} \left\{0,1,...,9\right\}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine größere Mächtigkeit hat als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,

Aus einer Funktion kannst Du das doch nicht schliessen. Du müsstest dann zeigen das es keine injektive Funktion

$\begin{eqnarray*} s:\left\{0,1,...,9\right\}^{\mathbb{N}} \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$

gibt. Ich denke Du siehst ein das man durch nennen einer einzigen, nicht injektiven Funktion das Ganze nicht zeigt Augenzwinkern

. Was die Bijektion angeht, ich denke die Gleicheit

$\begin{eqnarray*} 1 = 0.999... \end{eqnarray*}$

ist Dir bekannt, das es sich also um die selben Zahlen handelt. Damit müsste man die injektivität kriegen. Mich wundert hier nur dass (0 9 9 ... ) und (1 0 0) echt unterschiedliche Folgen sind, daher warten wir mal auf jemanden der sich in dieser Materie besser auskennt Augenzwinkern

23.09.2009, 14:08

Romaxx

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Beides lässt sich mit Cantor-Bernstein zeigen:

$\begin{eqnarray*} A\sim B\Leftrightarrow \exists A_1\subseteq A~\exists B_1\subseteq B:~ ( A_1\sim B)\wedge (B_1\sim A) \end{eqnarray*}$

Eine direkte Bijektion zu finden, wird schwer sein.

Ich zeige dir das an deiner ersten Frage:

$\begin{eqnarray*} f:~(0,1)\to [0,1], x \mapsto x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:~[0,1]\to (0,1), x\mapsto \frac{1}{10}\cdot x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq 0,~\frac{9}{10} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

Beides sind injektive Funktionen und eingeschränkt auf ihren Bildbereich bijektiv.

Gruß

23.09.2009, 14:34

tmo

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Zitat:

Original von Mazze
Mich wundert hier nur dass (0 9 9 ... ) und (1 0 0) echt unterschiedliche Folgen sind, daher warten wir mal auf jemanden der sich in dieser Materie besser auskennt Augenzwinkern

In der Tat scheint $\begin{eqnarray*} \{0,1, \dotsc,9\}^\mathbb N \end{eqnarray*}$ deswegen "mehr" Elemente zu haben.

Aber das macht gar nix, denn dieses Problem tritt nur bei periodischen Dezimalbrüchen (genauer nur bei solchen Dezimalbrüchen, bei denen irgendwann die Periode 9 auftritt) auf. Und die stellen alle eine rationale Zahl dar und die sind bekanntlich abzählbar.

Und abzählbar mehr als überabzählbar ist nunmal immer noch überabzählbar Augenzwinkern

Kann man natürlich mathematischer formulieren, aber ich hoffe es ist klar geworden.

23.09.2009, 14:49

Huggy

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Zitat:

Original von Mazze
Für die Gleichmächtigkeit von [0,1] und (0,1) musst Du doch garkeine Funktion mehr finden wenn Du schon weisst das $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und (0,1) gleichmächtig sind. Wegen $\begin{eqnarray*} (0,1) \subset [0,1] \end{eqnarray*}$ kann (0,1) höchstens Gleichmächtig zu [0,1] sein. Wegen $\begin{eqnarray*} [0,1] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kann [0,1] höchstens Gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sein. Nun sind (0,1) und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aber gleichmächtig. Damit ist [0,1] also höchstens gleichmächtig zu (0,1). Damit sind (0,1) und [0,1] gleichmächtig.

Das ist alles richtig, aber es ist ein reiner Existenzbeweis. Wahrscheinlich würde den Fragesteller die Angabe einer expliziten Bijektion 'glücklicher' machen. Und solche kann man auch angeben.

Zunächst macht man die Dezimaldarstellung der reellen Zahlen eindeutig, indem man z. B. Periode 9 nicht erlaubt. Sei zunächst mal die Bijektion zwischen [0, 1) und (0,1) betrachtet. [0, 1) wird in zwei disjunkte Teilmengen M1 und M2 unterteilt. M1 sei die Menge der reellen Zahlen in [0, 1) mit genau einer 1 in ihrer Dezimaldarstellung + {0}. M2 sei der Rest.

Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ die reelle Zahl aus M1, die die 1 an der Dezimalstelle n nach dem Komma hat. Jetzt wird M1 auf M1 abgebildet gemaß:

$\begin{eqnarray*} 0 \rightarrow x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow x_{n+1} \end{eqnarray*}$

In M2 wird jedes Element auf sich selbst abgebildet. Es ist offensichtlich, das dadurch insgesamt eine Bijektion von [0, 1) auf (0, 1) gegeben ist.

Eine Bijektion zwischen [0, 1] und (0,1) kann ganz ähnlich erzeugt werden, indem man [0,1] in zwei abzählbare Mengen + Rest unterteilt. Im Endeffekt beruht das Ganze darauf, dass durch

$\begin{eqnarray*} n \leftrightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

eine Bijektion zwischen {0, 1, 2, ... } und {1, 2, 3, ...} gegeben ist.

Edit:
M1 soll genau eine 1 in der Dezimaldarstellung haben und sonst nur Nullen und die Zahl 0.

@Romaxx
Habe versucht auf deine PN zu antworten. Bekam aber die Meldung, dass du keine PN empfangen kannst/möchtest.

23.09.2009, 17:29

Huggy

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Bitte Edit in meinem vorigen Beitrag beachten.

25.09.2009, 19:24

TobeStar81

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Hi zusammen,

erst einmal einen großen Dank an alle, die geantwortet haben. Mir sind selber auch schon ein paar Denkfehler aufgefallen, die mir unterlaufen sind... Naja, wenn das Hirn erst einmal in die falsche Richtung galloppiert smile

Ich werde dieses Wochenende erst einmal die Antworten sichten, bin grade leider etwas knapp an Zeit. Melde mich aber bald mit evtl weiteren Fragen, bzw. mit einer Rückmeldung, ob ich alles verstanden habe.

Nochmal! VIELEN DANK!!!!

Gruß
Tobias

25.09.2009, 22:10

Huggy

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Ich versuche noch mal, das Rezept für eine explizite Bijektion zwischen [0, 1] und (0,1) bzw. zwischen [0, 1) und (0, 1) klarer darzustellen.

(1) Der Fall $\begin{eqnarray*} [0, 1) \leftrightarrow (0, 1) \end{eqnarray*}$

Sei M1 eine abzählbare Teilmenge aus [0, 1), die 0 enthält. M1 lässt sich also schreiben als:

$\begin{eqnarray*} M_1=\{x_0=0, x_1, x_2, ...\} \end{eqnarray*}$

Sei M2 der Rest von [0, 1), also

$\begin{eqnarray*} M_2 = [0, 1) \setminus M_1 \end{eqnarray*}$

Eine Bijektion zwischen [0, 1) und (0,1) ergibt sich, wenn man jedes Element von M2 auf sich selbst abbildet und für M1 definiert:

$\begin{eqnarray*} x_n \leftrightarrow x_{n+1} \end{eqnarray*}$

Für M1 kann man z. B. nehmen:

$\begin{eqnarray*} M_1 = \{0, 0.1, 0.01, 0.001, ...\} \end{eqnarray*}$

(2) Der Fall $\begin{eqnarray*} [0, 1] \leftrightarrow (0,1) \end{eqnarray*}$

Das lässt sich mi einer zweiten abzählbaren Teilmenge realisieren:

$\begin{eqnarray*} M_1 = \{x_0=0, x_1, x_2, ...\}\quad x_n \leftrightarrow x_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_2 = \{y_0=1, y_1, y_2, ...\}\quad y_n \leftrightarrow y_{n+1} \end{eqnarray*}$

M1 und M2 müssen natürlich disjunkt sein. Bei $\begin{eqnarray*} M_3=([0, 1]\setminus M_1) \setminus M_2 \end{eqnarray*}$ wird wieder jedes Element auf sich selbst abgebildet.

Für M2 könnte man z. B. nehmen:

$\begin{eqnarray*} M_2=\{1, 0.9, 0.09, 0.009, ...\} \end{eqnarray*}$

Esr reicht auch eine abzählbare Teilmenge von [0, 1]:

$\begin{eqnarray*} M_1=\{ x_0=0, x_1, x_2=1, x_3, x_4, ...\} \quad x_n \leftrightarrow x_{n+1} \end{eqnarray*}$

Edit:
Nein, so geht es nicht mit nur einer abzählbaren Menge M1. Da würde ja x1 auf 1 abgebildet und die 1 gehört ja nicht zu (0, 1). Aber so geht es:

$\begin{eqnarray*} M_1=\{x_0=0, x_1=1, x_2, x_3, ...\} \quad x_n \leftrightarrow x_{n+2} \end{eqnarray*}$

30.09.2009, 10:18

TobeStar81

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Hallo alle zusammen,

erst einmal entschuldige ich mich für die späte Antwort, es sind ein paar wiedrige Umstände aufgetreten smile

Noch mal vielen Dank für die Mühen, ich habe soweit alles verstanden. Eigentlich habe ich nur noch eine Frage an Romaxx:

Bedeutet das, dass zwei Mengen genau dann gleichmächtig sind, wenn ich eine Untermenge der einen Menge finde, die jeweils zur anderen Menge gleichmächtig ist? Das würde ja manchmal so einiges erleichtern smile

Auch noch mal vielen Dank für die Angabe der Bijektionen... Da müsste ich wohl das nächste mal mit etwas mehr Kreativität drangehen...

Gruß
Tobias

30.09.2009, 10:31

Romaxx

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Richtig!

30.09.2009, 10:58

TobeStar81

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Ok, dann vielen Dank! Damit hat sich das Thema für mich geklärt smile

30.09.2009, 13:11

tmo

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Zitat:

Original von TobeStar81

Bedeutet das, dass zwei Mengen genau dann gleichmächtig sind, wenn ich eine Untermenge der einen Menge finde, die jeweils zur anderen Menge gleichmächtig ist? Das würde ja manchmal so einiges erleichtern smile

Oder anders ausgedrückt. Es reicht wenn man beide Mengen in die jeweils andere injektiv abbilden kann. Das ist in der Tat oft einfacher als eine bijektive Abbildung zu finden.

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