Lineare Unabhängigkeit

25.09.2009, 15:57

Duedi

Lineare Unabhängigkeit

Hallo! Bitte um Korrektur bzw. Kontrolle, dankeschön smile

$\begin{eqnarray*} \text{Es sei } \mathbb R \text{ angesehen als } \mathbb Q-\text{Vektorraum. } M:=\{\ln p_i\ |\ p_i \text{ i-te Primzahl}\}\\ z. z.: M \text{ ist linear unabhängig} \\<br /> \text{Angenommen: } \sum_{k=1}^\infty\lambda_i\cdot p_i=0;\quad \lambda_i \in \mathbb Q\quad \stackrel{\text{e unterschieben}}{\Rightarrow} \quad \prod_{k=1}^\infty p_i^{\lambda_i}=1\quad \text{(1)} \end{eqnarray*}$
Folgende Überlegung: Die Lambda-Koeffizienten sind aufgrund ihrer Rationalität dergestaltet darstellbar: $\begin{eqnarray*} \lambda_i = \frac{\alpha_i}{\beta_i} \end{eqnarray*}$
Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ auch so aufzufassen ist:
$\begin{eqnarray*} p_1^{\frac{\alpha_1}{\beta_1}}\cdot p_2^{\frac{\alpha_2}{\beta_2}}\cdot p_3^{\frac{\alpha_3}{\beta_3}}\cdot\ \cdots = 1\quad \text{(2)} \end{eqnarray*}$
Jetzt potenziere ich $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ nacheinander mit $\begin{eqnarray*} \beta_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta_2 \end{eqnarray*}$ etc., sodass die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ nur noch ganzzahlig potenziert sind:
$\begin{eqnarray*} p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \cdots = 1 \end{eqnarray*}$
Dass diese Gleichung für Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_i \in \mathbb N \text{\textbackslash} \{0\} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, ist unmöglich, daher müssen die Koeffizienten Alpha und damit auch die Lambda 0 sein. Daraus folgt die lineare Unabhängigkeit.

Ist das so korrekt? Das Potenzieren kommt mir irgendwie geschummelt vor.

25.09.2009, 18:14

Mazze

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Du hast am Anfang einen Tipfehler, deine Reihe sollte für ln p_i betrachtet werden. Die Umformung ins Produkt ist dann aber wieder richtig. Ausserdem vergisst Du hier die Betas mit den anderen Produkttermen zu verrechnen.

$\begin{eqnarray*} (abc)^\beta = a^\beta * b^\beta *c^\beta \end{eqnarray*}$

Hier mal die endliche Version :

$\begin{eqnarray*} p_1^{\frac{\alpha_1}{\beta_1}}p_2^{\frac{\alpha_2}{\beta_2}}p_3^{\frac{\alpha_3i}{\beta_3}} =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p_1^{\alpha_1\beta_2 \beta_3}p_2^{\alpha_2\beta_1 \beta_3}p_3^{\alpha_3\beta_1 \beta_2} = 1 \end{eqnarray*}$

Da du hier ein Produkt mit unendlich vielen Faktoren hast erzeugst Du so für jede Primzahl einen Exponenten der ebenfalls ein Produkt mit unendlich vielen Faktoren hat.

Allerdings stört das nicht weiter, wir wissen das alle Beta ungleich 0 sind. Damit die Gleichung stimmt müssen also alle Alphas null sein , da wir ja in jeder Basis eine Primzahl haben.

25.09.2009, 18:15

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RE: Lineare Unabhängigkeit
Zwei Inkorrektheiten:

1) Bei der angenommenen linearen Abhängigkeit musst du mit endlich vielen Summanden operieren, nicht abzählbar vielen. unglücklich

2) Die Exponenten in dieser Zeile

Zitat:

Original von Duedi
$\begin{eqnarray*} p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \cdots = 1 \end{eqnarray*}$

sind nicht die $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ . Aber es sind zumindest ganze Zahlen, womit der Beweis trotzdem klappt.

EDIT: Ok, mit Punkt 2) war ich ein wenig spät. Aber 1) zählt nach wie vor.

25.09.2009, 18:20

Duedi

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Zum Punkt 2) von Arthur und zum gleichbedeutenden von Mazze: Ja stimmt natürlich, das habe ich zu übereilt hingeschrieben. Zum Punkt 1): In unserer Aufgabenstellung ist explizit von der Menge aller logarithmierten Primzahlen die Rede, also einer abzählbar unendlichen Menge. Ist es vielleicht so gemeint (wenn es auch nicht dransteht), dass jede endliche Menge von logarithmierten Primzahlen linear unabhängig ist?

25.09.2009, 18:21

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Es ist egal, wie groß die Ausgangsmenge ist. Schau mal genau nach, wie lineare Unabhängigkeit definiert ist!!!

Eine "unendliche" Summe (=Reihe) ist in Vektorräumen ohne Topologie (ja, sowas gibt's auch) übrigens auch gar nicht definiert, also kann sie auch nicht in irgendwelchen allgemeinen, d.h. für beliebige Vektorräume gültigen Definitionen auftauchen - aus dieser Plausibilitätsecke solltest du das ganze nämlich auch mal betrachten! Augenzwinkern

25.09.2009, 18:28

Duedi

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Ein Tupel $\begin{eqnarray*} (v_1,\cdots v_n) \end{eqnarray*}$ heißt linear unabhängig, wenn ... (nur triviale Nullsumme).

Geht es dir darum, dass das Tupel abzählbar endlich viele Elemente enthält? Oder habe ich dich das falsch verstanden?

25.09.2009, 18:29

Mazze

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Zitat:

Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K und I eine Indexmenge. Eine durch I indizierte Familie (\mathbf v_i)_{i\in I} heißt linear unabhängig, wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist.

25.09.2009, 18:30

Duedi

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Aaah, danke, das ist ja ein toller Satz Big Laugh

Den hatten wir meines Wissens noch gar nicht.

EDIT: (Genau das meinte ich mit meinem vorletzten Post eigentlich, habe mich vielleicht etwas ungenau ausgedrückt)

25.09.2009, 18:52

Felix

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Das ist kein Satz sondern eine Definition Augenzwinkern

25.09.2009, 18:58

Duedi

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ich hab Semesterferien, da hat die Hälfte meines mathematischen Gehirns Winterschlaf

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