Rationale oder keine rationale Zahl?

26.09.2009, 10:45

Klim

Rationale oder keine rationale Zahl?

Hi, das kommt zwar aus dem Vorkurs Mathematik an der Uni aber denke das ist noch Schulmathematik.

Überprüfe ob folgende reele Zahlen irrational (also nicht rational) sind.

... , $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , ..

Also überprüfen wir WURZEL3

Schreib einfach mal das was ich mitgeschrieben habe:

Zitat:

Annahme: $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} p\in \mathbb Z , q \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ maximal gekürzt, d.h. es gibt keine natürliche Zahl >1, die p und q teilt.

<=> $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} = \frac{p}{q} |² \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 3 = \frac{p²}{q²} \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 3*q² = p² = p*p \end{eqnarray*}$

=> 3|p² => 3|p

=> es gibt eine ganze Zahl k mit

p= 3*k

$\begin{eqnarray*} 3*q² = p² \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 3*q² = (3*k)² \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 3*q² = 9*k² \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} q² = 3*k² \end{eqnarray*}$

=> 3|q² => 3 teilt p und q. WIDERSPRUCH!

Also verstehe nicht ganz wieso dieser Widerspruch besagt das WURZEL3 eine irationale Zahl ist. Mein Nichtverstehen fängt bei "mit p/q max. gekürzt, dh......" an. Die Rechenoperationen sind einleuchtend. Nur wieso soll mir die Teilbarkeit durch 3 Auskunft darüber geben das es eine irationale Zahl ist?

Weiß schon das die rationalen Zahlen als zB p/q definiert sind und p ist halt eine Ganze und q eine Natürliche Zahl.

Hoffe jemand kann mir helfen.

gruß

26.09.2009, 11:03

kiste

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Hallo,

die Annahme ist dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ eine rationale Zahl ist. Wenn es eine solche ist, so muss sie als Bruch $\begin{eqnarray*} \frac p q \end{eqnarray*}$ darstellbar sein. Von diesem kann man annehmen dass er vollständig gekürzt ist, jetzt zeigen wir dass er es nicht ist. Das ist ein Widerspruch also muss die Annahme schon falsch sein.

Eine anschaulichere Sicht auf die Sache: Wäre Wurzel(3) ein Bruch, so würden Zähler und Nenner unendlich oft durch 3 teilbar sein Augenzwinkern

. Das geht offensichtlich nicht

26.09.2009, 11:57

tmo

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Man kann den Beweis übrigens auch anders abschließen, dann ist er halt nicht so "schön", aber vlt einleuchtender.

Bei $\begin{eqnarray*} 3q^2=p^2 \end{eqnarray*}$ stellt man fest, dass bei der Primfaktorzerlegung von Quadratzahlen jede Primzahl mit einer geraden Potenz vorkommt.

Das bedeutet aber, dass in $\begin{eqnarray*} 3q^2 \end{eqnarray*}$ die 3 in einer ungeraden Potenz vorkommt, bei $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ jedoch in einer geraden Potenz. Da selbe Zahlen selbe Primfaktorzerlegungen haben, können $\begin{eqnarray*} 3q^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ nicht die selben Zahlen sein, weil sie verschiedene Primfaktorzerlegungen haben.

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