Distributivgesetz für das Skalarprodukt

26.09.2009, 12:53

Mathe_2010?

Distributivgesetz für das Skalarprodukt

Hallo,

Ich möchte das Distributivgesetz für Skalarprodukte beweisen:

$\begin{eqnarray*} (\vec{a} + \vec{b} )\cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$

Dies lässt sich auch mithilfe der Koordinatenform sehr leicht handhaben. Ich wollte den Beweis nun aber ohne Koordinatenform sondern nur anhand der Definition des Skalarprodukts:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |\cdot cos(eingeschl. Winkel) \end{eqnarray*}$

führen. Ich betrachte also 3 Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} ,\vec{b} ,\vec{c} \end{eqnarray*}$ , wobei

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ derjenige zwischen $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ ist und
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ derjenige zwischen $\begin{eqnarray*} (\vec{a}+\vec{b}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ ist. Also müsste ich doch zeigen:

$\begin{eqnarray*} | \vec{a} + \vec{b} | \cdot cos\gamma = | \vec{a} | \cdot | \vec{c} | \cdot cos\alpha + | \vec{b} | \cdot | \vec{c} |\cdot cos\beta \end{eqnarray*}$

Leider finde ich nur sehr komplizierte Terme um $\begin{eqnarray*} cos\gamma \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ auszudrücken, sodass ich befürchte, auf dem Holzweg zu sein...

Könnt ihr mir helfen geschockt

26.09.2009, 13:56

Mazze

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Zitat:

Dies lässt sich auch mithilfe der Koordinatenform sehr leicht handhaben. Ich wollte den Beweis nun aber ohne Koordinatenform sondern nur anhand der Definition des Skalarprodukts:

Ich wage stark zu bezweifeln das dass eure Definition des Standardskalarproduktes ist. Dies ist eine Eigenschaft dessen. Diese "Koordinatenform" wie Du es nennst dürfte eher eure Definition sein. Man kann das Distributivgesetz aber auch mit der Winkelgleichung zeigen. Dabei ist der Knackpunkt

$\begin{eqnarray*} |a| \cos(\alpha) + |b|\cos(\beta) = |a + b|\cos(\gamma) \end{eqnarray*}$

zu zeigen. Hier müsste man sich ganz genau aufzeichnen welche geometrischen Zusammenhänge zwischen den einzelnen Komponenten bestehen.

26.09.2009, 14:32

Kopfrechner

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Zitat:

Original von Mazze
Ich wage stark zu bezweifeln das dass eure Definition des Standardskalarproduktes ist. Dies ist eine Eigenschaft dessen. ...

Hallo Mazze,
in einer Reihe von (nicht nur Schul-)Büchern geht man nicht von der Koordinatenform aus, sondern leitet diese dann umgekehrt aus der Betrags-/ Winkeldefinition des Skalarprodukts her.

Gruß, Kopfrechner

26.09.2009, 15:24

Mathe_2010?

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Danke für die bisherigen Antworten. smile

@ Mazze

Genau bis dort bin ich auch gekommen. Eine Skizze habe ich auch angestellt, letztendlich finde ich aber keinen subtilen Lösungsschritt bzw. bekomme irgendeinen vermurksten Term für cos Gamma heraus.

@ Kopfrechner

Genau das habe ich auch beobachtet (Ich nutz mehrere Mathebücher)

Gruß

26.09.2009, 15:36

Kopfrechner

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Hallo,

im zweidim. Fall läßt sich das Gesetz durch geometrische Interpretation der vorkommenden Teile nachweisen. (Ich suche mal nach)

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