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27.09.2009, 12:04

Orfelina

Ring

Guten Morgen miteinander!

Ich stocke bei folgender Aufgabe:

Sei X eine nicht leere Menge und P(X) die zugehörige Potenzmenge. Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B ist durch ADeltaB := (A \ B) vereinigt mit (B \ A) definiert.
Zeige:
Wird die Operation + von A,B Element von P(X) durch die symmetrische Differenz A△B definiert und als Operation ◦ der Durchschnitt ADeltaB gewählt, so ist (P(X),+,°) ein kommutativer Ring mit Eins (der sogenannte Mengenring).

Also, wesentlich ist sicherlich, dass man weiss, dass ein Ring (mit Eins) ein Tripel (A, +, *) ist, wobei A eine Menge und +, * zweistellige Verknüpfungen sind, so dass folgendes gilt:
- (A, +) ist eine abelsche (kommutative) Gruppe, (mit 0 bezeichnet man das neutrale Element, zu a ∈ A bezeichnet man mit (-a) das inverse Element)
- (A, *) ist eine Halbgruppe. (neutrales Element = 1)
- Es gelten die Distributivgesetze (...)

Zudem kann man sagen, dass ein Ring kommutativ ist, wenn (A, *) kommutativ ist.

..also, ich habe das nun ein wenig "vereinfacht" und "verkürzt" geschrieben, es soll aber auch nur das Wichtigste gesagt sein..

Der Begriff des Rings ist also klar - wie aber zeige ich das gefragte - bzw. wo beginne ich am Besten?

27.09.2009, 12:40

Mystic

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Die einfachste Möglichkeit besteht natürlich darin, einfach alle Ringgesetze als Gleichheiten für Mengen hinzuschreiben und diese Gleichheiten im wesentlichen mit Hilfe von Wahrheitstafeln *) zu beweisen. Solltest du so ehrgeizig sein, die Ringgesetze mit Hilfe von algebraischen Umformungen beweisen zu wollen, würde ich dir dringend raten, die Addition im Ring anders (aber natürlich gleichwertig) zu definieren, nämlich durch

$\begin{eqnarray*} A \Delta B := (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) \end{eqnarray*}$

wobei der Querstrich die Komplementbildung in Bezug auf die Grundmenge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist, da man mit der Mengendifferenz sehr schlecht "rechnen" kann.

*) Wahrheitstafeln deshalb, weil es bei diesen Gleichheiten um die Aussagen geht, dass ein Element $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ genau dann in der linksstehehnden Menge enthalten ist, wenn es in der rechtsstehenden Menge enthalten ist.

27.09.2009, 13:35

Orfelina

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Wie würde denn (als Beispiel) eine solche Wahrheitstabelle aussehen?
Also was ich mir eben (noch) nicht so genau vorstellen kann ist, was links, welche Verknüpfung oben links und was oben stehen soll, um dann am Schluss das Gefragte zu zeigen..

Optional würde es mich natürlich interessieren, wie die algebralische Umwandlung gehen würde - zunächst wäre ich allerdings froh, wenn ich den einfacheren Weg machen und verstehen könnte =)

27.09.2009, 14:11

Mystic

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Beim Assoziativgesetz für die Ringaddition muss man etwa die Gleichung

$\begin{eqnarray*} (A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C) \end{eqnarray*}$

für beliebige Teilmengen $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zeigen.

Für die Wahrheitstafel musst du nun alle 8 Fälle

$\begin{eqnarray*} x \in A \text{ bzw. } x \not \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in B \text{ bzw. } x \not \in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in C \text{ bzw. } x \not \in C \end{eqnarray*}$

durchgehen und den entsprechenden Wahrheitswert $\begin{eqnarray*} w \text{ oder } f \end{eqnarray*}$ unter die Mengen anschreiben. Jede dieser 8 Möglichkeiten entspricht genau eine Zeile in der Wahrheitstafel. Dann schreibst du die Wahrheitswerte für

$\begin{eqnarray*} x \in A \Delta B \text{ bzw. } x \in B \Delta C \end{eqnarray*}$

unter die entsprechenden Junktoren $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ und bestimmst zum Schluß die Wahrheitswerte für die linke Seite der Gleichheit und die rechte Seite der Gleichheit und schreibst diese unter die entsprechenden verbleibenden Junktoren. Stimmen sie in allen 8 Fällen überein, ist die Gleichheit bewiesen.

Die entsprechende rein algebraischen Umformungen sind einigermaßen "tricky", du brauchst dafür die Distributivgesetze für $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ , sowie die De Morgan'schen Gesetze. Dafür ist die Lösung im Gegensatz zur obigen (durch reine Fallunterscheidung, was in der Mathematik immer als unelegant gilt!) dann auch wirklich höchst "befriedigend".

27.09.2009, 17:17

Orfelina

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Phuu..ich habe einige Fragen smile

1.) Die Wahrheitstabelle habe ich nun erstellt, mit allen 8 Möglichkeiten, die es gibt.
Was ich nun nicht ganz verstehe ist, was du mit
" Dann schreibst du die Wahrheitswerte für

x Element A Delta B bzw. x Element B Delta C

unter die entsprechenden Junktoren und bestimmst zum Schluß die Wahrheitswerte für die linke Seite der Gleichheit und die rechte Seite der Gleichheit und schreibst diese unter die entsprechenden verbleibenden Junktoren. Stimmen sie in allen 8 Fällen überein, ist die Gleichheit bewiesen.
"
meinst..

2.) Das wäre ja erst den Beweis für das Assoziativgesetzt für die Ringaddition..dazu käme dann doch noch neutrales Element, Inverses, Kommutativität und dann dasselbe noch für die Multiplikation - nicht?

3.) wenn bei (2) die Antwort "ja" ist: geht die algebralische Umformung weniger "umständlich" (bzw. lohnt es sich, diese Methode anzuwenden?)

27.09.2009, 21:27

Mystic

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ad 1) Hab dir mal dir ersten 2 Zeilen der Wahrheitstafel ausgefüllt und zwar genau in der Reihenfolge, welche durch die Zahlen der ersten Zeile (die natürlich nicht zur eigentlichen Tafel dazugehört) vorgegeben sind. Zum Schluss sollten unten den Spalten unter der Ziffer 3 die gleichen Wahrheitswerte stehen, was dann in der Spalte unter der Ziffer lauter w ergibt.

$\begin{eqnarray*} \begin {array} {ccccccccccc} 1 &2 &1 &3 &1 &4 &1 &3 &1 &2 &1 \\ (A &\Delta &B) &\Delta &C &= &A &\Delta &(B &\Delta &C) \\ w &f &w &w &w &w &w &w &w &f &w \\ w &f &w &f &f &w &w &f &w &w &f \\ &&&&&\ldots \end {array} \end{eqnarray*}$

ad 2) Ja, wenngleich die anderen Eigenschaften meist sehr viel leichter zu sehen sind.

ad 3)

Wie ich schon sagte, sind die algebraischen Umformungen meist schwieriger, und zwar weil man da nicht stupide Fallunterscheidungen macht, sondern an den entscheidenden Stellen auch die richtigen Ideen haben muss, wie's weitergeht. Wenn du mit der Methode unter 1) schon Probleme hast, würde ich diesen Zugang als für dich chancenlos einstufen. Aber ich deute dir mal den Beweis der Assoziativität der Ringaddition an, damit du das selber überprüfen kannst:

$\begin{eqnarray*} (A \Delta B) \Delta C = (((A \cap \bar{B})\cup (\bar{A} \cap B)) \cap \bar{C}) \cup (\overline{(A \cap \bar{B})\cup (\bar{A} \cap B) }\cap C)=\\ \ldots = (A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar A \cap \bar B \cap C) \cup (A \cap B \cap C) \end{eqnarray*}$

Wie ich schon sagte, müssen die Distributivgesetze für Durchschnitt und Vereinigigung, sowie die De Morgan Regeln an der Stelle angewandt werden, wo ich Punkte gemacht habe. (Checke nun mal selber, ob du damit diese kleine Lücke in meinem Ausführungen ausfüllen kannst!)

Der resultierende Ausdruck ist aber nun offensichtlich symmetrisch in A, B, C, man würde also genau dasselbe erhalten bei Vereinfachung von

$\begin{eqnarray*} (B \Delta C) \Delta A \end{eqnarray*}$

was unter Verwendung der Kommutativität von $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ sich auch schreiben läßt als die rechte Seite des Assoziativgesetzes, nämlich

$\begin{eqnarray*} A \Delta (B \Delta C) \end{eqnarray*}$

womit alles gezeigt ist.

28.09.2009, 00:04

Orfelina

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Wow! Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!

..du hast Recht, zuerst möchte ich schon das einfachere verstehen - dann erst will ich mich an den etwas eleganteren Beweis wagen smile

..jupiii, ich habe die Tafel nun vollständig ausgefüllt (8 Fälle, nicht wahr?) smile

..nun würde ja noch das neutrale Element, inverse Element und Kommutativität fehlen, um vollständig gezeigt zu haben, dass es sich um einen kommutativen Ring handelt..

Das neutrale und inverse Element zu zeigen, stelle ich mir noch relativ simpel vor (kann man nicht einfach eine "Beispielrechnung" à la: a + x = a) , aber wie zeigt man die Kommutativität? (und eben, falls dies nicht stimmt, das neutrale und inverse Element)?

28.09.2009, 08:47

Mystic

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Zitat:

Original von Orfelina
Das neutrale und inverse Element zu zeigen, stelle ich mir noch relativ simpel vor (kann man nicht einfach eine "Beispielrechnung" à la: a + x = a) , aber wie zeigt man die Kommutativität? (und eben, falls dies nicht stimmt, das neutrale und inverse Element)?

Eine Beispielrechnung kann nur dazu gut sein, um das neutrale Element und das Inverse zu einer beliebigen Teilmenge A von X zu "erraten". Danach muss aber ein strenger Beweis erfolgen, der aber im Prinzip gleich geht wie oben für die Assoziativität der Ringaddition, denn man muss ja dann wieder nur die Gleichheit von gewissen Mengen zeigen...

Im übrigen scheint es mir, als hättest du auf die multiplikative Struktur (kommutative Halbgruppe mit Einselement), sowie auf die Distributivgesetze im Ring total vergessen...

29.09.2009, 18:36

D@Npower

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Zitat:

Original von Mystic

$\begin{eqnarray*} (A \Delta B) \Delta C = (((A \cap \bar{B})\cup (\bar{A} \cap B)) \cap \bar{C}) \cup (\overline{(A \cap \bar{B})\cup (\bar{A} \cap B) }\cap C)=\\ \ldots = (A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup (\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) \cup (\bar A \cap \bar B \cap C) \cup (A \cap B \cap C) \end{eqnarray*}$

Der resultierende Ausdruck ist aber nun offensichtlich symmetrisch in A, B, C, man würde also genau dasselbe erhalten bei Vereinfachung von

$\begin{eqnarray*} (B \Delta C) \Delta A \end{eqnarray*}$

was unter Verwendung der Kommutativität von $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ sich auch schreiben läßt als die rechte Seite des Assoziativgesetzes, nämlich

$\begin{eqnarray*} A \Delta (B \Delta C) \end{eqnarray*}$

womit alles gezeigt ist.

..schon wieder die selbe Aufgabe ;-)

..ich habe sie allerdings mit der zweiten Methode gemacht:

Beweis der Kommutativität: A delta B = (A\B)u(B\A) = (AuB)\(AnB)

Beweis der Assoziativität: (A delta B) delta C = A delta (B delta C)
((AuB)\(AnB) delta C)=((AuB)\(AnB))uC)\((AuB)\(AnB)nC)
A delta ((BuC)\(BnC))=(Au((BuC)\(BnC))\(An((BuC)\(BnC))

--> es folgt deine (Mystic) Folgerung, also ist alles gezeigt =)
Stimmt mein obiger Beweis?

29.09.2009, 20:20

Mystic

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Zitat:

Original von D@Npower

Beweis der Assoziativität: (A delta B) delta C = A delta (B delta C)
((AuB)\(AnB) delta C)=((AuB)\(AnB))uC)\((AuB)\(AnB)nC)
A delta ((BuC)\(BnC))=(Au((BuC)\(BnC))\(An((BuC)\(BnC))

--> es folgt deine (Mystic) Folgerung, also ist alles gezeigt =)
Stimmt mein obiger Beweis?

Ich sehe da nicht die Spur eines Beweises...Du hast ja im Grunde nur in die linke und die rechte Seite des Assoziativgesetzes eingesetzt und das dann so stehengelassen... verwirrt

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