Abbildungen

28.09.2009, 15:09

Orfelina

Abbildungen

Man beweise folgende Aussage:

Sei $\begin{eqnarray*} (K, +, \cdot) \end{eqnarray*}$ ein Körper und A eine Menge. Bezeichne Abb(A,K) die Menge der Abbildungen

$\begin{eqnarray*} Abb(A,K) : = \left\{ f | f: A \Rightarrow K ist Abbildung \right\} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} (Abb(A,K), \oplus , \odot ) \end{eqnarray*}$ mit der wie folgt erklärten Addition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ : Abb(A,K) x (Abb(A,K) --> Abb(A,K) und Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ : K x Abb(A,K) --> Abb(A,K) ein Vektorraum über K:

$\begin{eqnarray*} (f \oplus g)(a) : = f(a) + g(a) \forall f, g \in Abb(A,K), a \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (k \odot f)(a) : = k \cdot f(a) \forall f \in Abb(A,K), k \in K, a \in A \end{eqnarray*}$

Ich habe folgendes gemacht - kann mir jemand sagen, ob das stimmt - bzw. wie es zu stimmen kommt?

$\begin{eqnarray*} (f \oplus g)(a) : = Abb(A,K) \times Abb(A,K) \Rightarrow Abb(A,K) = f(a) + g(a) \end{eqnarray*}$ . wobei a in A ist, und f die gesamte Abbildung (A,K) umschreibt.

$\begin{eqnarray*} (k \odot f)(a) : = K \times Abb(A,K) = k \odot f(a) \end{eqnarray*}$ , wobei k in K ist, und f die Abbildung (A,K) umschreibt.

28.09.2009, 15:15

kiste

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Hallo,

mir ist überhaupt nicht klar was du da gemacht hast.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (f \oplus g)(a) : = Abb(A,K) \times Abb(A,K) \Rightarrow Abb(A,K) = f(a) + g(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\oplus g \end{eqnarray*}$ ist doch schon in der Aufgabenstellung definiert. Du hast hier anscheinend einige Zeichen durcheinander gebracht.
Was du schreibst ((f+g)(a) ist definiert als Kreuzprodukt daraus folgt dass die Abbildungen gleich dem Wert f(a)+g(a)) macht keinen Sinn.

Was du machen musst ist zu zeigen dass es ein Vektorraum ist. Dazu zeige jede Bedingung die gefordert ist in der Vektorraumdefinition.

28.09.2009, 22:07

Orfelina

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Achso, das heisst, ich muss bei
$\begin{eqnarray*} (f \oplus g)(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (k \odot f)(a) \end{eqnarray*}$
zeigen, dass es
- kommutativ ist (abelsch)
und zusätzlich eine Multiplikation mit einem Skalar aus K erklärt ist:
$\begin{eqnarray*} *: K \times V \Rightarrow V \end{eqnarray*}$ (§)
wobei für alle u, v Element V und Alpha, Beta Element K folgende Bedingungen gelten:
- (1) $\begin{eqnarray*} \alpha * (\beta * v) = (\alpha *\beta )* v \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} \alpha * (u + v) = \alpha * u + \alpha * v \end{eqnarray*}$
(2b) $\begin{eqnarray*} (\alpha + \beta ) * v = \alpha * v + \beta * v \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} 1 * v = v \end{eqnarray*}$ (also die Neutralität der Eins) (Einselement)

..stimmt so, oder?

--> zur Kommutativität: wie zeigt man das genau, wenn man nur 2 (f und g) Abbildungen hat?

--> zu (§) : Das ist ja eine allgemeine Definition - entspricht diesem V unsere Abb(A,K) ?

28.09.2009, 22:26

kiste

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Es fehlt noch dass $\begin{eqnarray*} V = \mathrm{Abb}(A,K) \end{eqnarray*}$ eine kommutative Gruppe mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ bildet. Aber ja das musst du alles zeigen Big Laugh

Die Multiplikation mit einem Skalar * ist hier eben $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$

28.09.2009, 22:57

Orfelina

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Ah..stimmt smile

hehe...

Aber zunächst bleibt eine Frage:
Bei (1) brauche ich ja Alpha und Beta Element K und v Element Abb(A,K)
Das Problem, das ich gerade habe, ist, dass ich den Anfang nicht sehe - für mich ist diese Behauptung eben eigentlich trivial

28.09.2009, 23:03

kiste

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Rechne einmal die Abbildungsvorschriften von $\begin{eqnarray*} \alpha \odot (\beta \odot f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\alpha \cdot \beta)\odot f \end{eqnarray*}$ aus. Dann sieht man dass diese gleich sind, also sind auch die Abbildungen gleich.
Wenn die Behauptung für dich trivial ist, sollte das aufschreiben ja kein Problem sein.
Richtig ist allerdings: Es treten keinerlei Schwierigkeiten beim Beweis auf. Das ist eine typische Anfängeraufgabe um die Definition zu üben smile

29.09.2009, 00:15

Orfelina

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Also, ich habe nun folgende (alle notwendigen) Beweise geführt.
(ob sie allerdings richtig sind..)

- Kommutativität:
$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot v = v \cdot \alpha \end{eqnarray*}$ <--> $\begin{eqnarray*} k \cdot V = V \cdot k \end{eqnarray*}$ <--> $\begin{eqnarray*} k \cdot Abb(A,K) = Abb(A,K) \cdot k \end{eqnarray*}$

- V = Abb(A,K) ist kommutative Gruppe mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} u + v = v + u \end{eqnarray*}$ <--> $\begin{eqnarray*} f(a) + g(a) = g(a) + f(a) = Abb(A,K) = V \end{eqnarray*}$

- (1):
$\begin{eqnarray*} \alpha \odot (\beta \odot f) = \alpha \beta f = (\alpha \cdot \beta ) \odot f \end{eqnarray*}$

- (2a):
$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot (f + g) = k(f + g) = kf + kg = \alpha f + \alpha g \end{eqnarray*}$

- (2b):
$\begin{eqnarray*} (\alpha + \beta ) \cdot f = \alpha f + \beta f = k_1f + k_2f \end{eqnarray*}$

- (3):
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot f = f \cdot 1 = f \end{eqnarray*}$

29.09.2009, 00:32

kiste

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Du hast bereits richtig im Gefühl gehabt: Die Beweise sind nicht richtig. Die Idee ist glaube ich nicht verkehrt aber leider machen dir mathematische Symbole noch sehr große Schwierigkeiten.

Zunächst einmal solltest du dir komplett klar sein was du zeigen willst. Dazu gehören auch die zugehörigen Quantoren! Achte darauf dass alle Zeichen klar sind, jedem Leser nicht nur dir Augenzwinkern

Soweit ich das sehe ist nur (1) einigermaßen zufriedenstellend gelöst. Du müsstest aber noch erklären was $\begin{eqnarray*} \alpha\beta f \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Zu den anderen ein paar Anmerkungen(unvollständig):

Zitat:

- Kommutativität:
$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot v = v \cdot \alpha \end{eqnarray*}$ <--> $\begin{eqnarray*} k \cdot V = V \cdot k \end{eqnarray*}$ <--> $\begin{eqnarray*} k \cdot Abb(A,K) = Abb(A,K) \cdot k \end{eqnarray*}$

Du schmeißt hier wahllos mit Bezeichnern um dich. Wo kommen alpha,v und k den her?
Viel wichtiger aber: Was willst du hier denn überhaupt zeigen? Die einzige Kommutativität die wir zeigen müssen ist $\begin{eqnarray*} f\oplus g = g\oplus f \quad\forall f,g\in\mathrm{Abb}(A,K) \end{eqnarray*}$

Zitat:

- V = Abb(A,K) ist kommutative Gruppe mit $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} u + v = v + u \end{eqnarray*}$ <--> $\begin{eqnarray*} f(a) + g(a) = g(a) + f(a) = Abb(A,K) = V \end{eqnarray*}$

Ok hier hast du jetzt kommutativ nochmal versucht. Was genau sind aber u,v und welchen Bezug haben die zu f und g? Warum sollte ein Element aus K, was ja g(a)+f(a) ist gleich einer Menge, also Abb(A,K) sein?
Sollten u und v aus Abb(A,K) sein hast du außerdem die falsche Verknüpfung benutzt, den die Verknüpfung im VR ist doch $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$
Desweiteren gehört zu einer kommutativen Gruppe nicht nur kommutativ, du musst auch die anderen Gruppeneigenschaften zeigen(assoziativ, neutrales Element, Inverse)

Zitat:

(2a):
$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot (f + g) = k(f + g) = kf + kg = \alpha f + \alpha g \end{eqnarray*}$

- (2b):
$\begin{eqnarray*} (\alpha + \beta ) \cdot f = \alpha f + \beta f = k_1f + k_2f \end{eqnarray*}$

Wo kommen hier wieder die Symbole alpha, beta, f und g her? Warum taucht plötzlich ein k,k1 und k2 auf? Außerdem hast du bei a) wieder + statt oplus benutzt.

Zitat:

- (3):
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot f = f \cdot 1 = f \end{eqnarray*}$

Warum schreibst du hier $\begin{eqnarray*} f\cdot 1 \end{eqnarray*}$ ? Das ist zwar f aber in diesem Fall völlig irrelevant, wir wollen doch $\begin{eqnarray*} 1\odot f = f \end{eqnarray*}$ zeigen.

Das war jetzt ziemlich viel Kritik, ich hoffe du kannst sie nutzen im zweiten Anlauf

29.09.2009, 17:59

D@Npower

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Hihi..lustig..ich bin gerade bei derselben Aufgabe smile

..habe jedoch andere Lösungen:

(oke, meine (bei dir) (1) sieht in etwa gleich aus..)

Zur Kommutativität habe ich folgendes gemacht:
Behauptung: $\begin{eqnarray*} f \oplus g = g \oplus f \end{eqnarray*}$
es gilt: $\begin{eqnarray*} Abb(A,K) \times Abb(A,K) \Rightarrow Abb(A,K) \end{eqnarray*}$ (W)
$\begin{eqnarray*} f(a) + g(a) = (f \oplus g)(a) =: f(a) + g(a) \end{eqnarray*}$ (nach Definition)

Man kann wegen der (W)-Zeile f und g auch vertauschen (...)

Zu deiner (2):
(a) Da hab ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} k \cdot (f \oplus g) = k \cdot (Abb(A,K)) \times k \cdot (Abb(A,K)) \Rightarrow k \cdot (Abb(A,K)) = k \cdot f + k \cdot g \end{eqnarray*}$

(b) ( k, l seien Elemente des Körpers (K). )
$\begin{eqnarray*} (k + l) \cdot f = k \cdot Abb(A,K) + l \cdot Abb(A,K) = k \cdot f + l \cdot f \end{eqnarray*}$

(3)
$\begin{eqnarray*} 1 \odot f = 1 \cdot (Abb(A,K)) = Abb(A,K) = f \end{eqnarray*}$

Zudem habe ich (wie kiste das auch geraten hat) noch für die Kommutativität der Gruppe folgendes geprüft (teilw. ein wenig gekürzt):

(i) für die Addition:
- f(a) + 0 = 0 + f(a) = f(a) ---> 0 ist neutrales Element
- f(a) + x = 0 --> x = -(f(a)) (=inverses Element)

(ii) für die Multiplikation:
- f(a) * 1 = 1 * f(a) = f(a) --> 1 ist neutrales Element
- f(a) + x = 0 --> x = (f(a))^{-1} (= inverses Element)

Somit wäre (meines Erachtens) wirklich alles geprüft - ob die Beweise allerdings stimmen, (bzw wie sie zu stimmen kämen) würde ich auch nicht behaupten - deshalb stelle ich sie auch öffentlich zur Schau.. =)

Herzlichen Dank für die An- und Bemerkungen sowie die Hilfe zur "Berichtigung" des Geschriebenen. smile

29.09.2009, 18:18

kiste

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Hallo,

die Unsicherheit mit dem Formellen scheint bei euch wohl gang und gebe zu sein. Du hast nahezu dieselben Fehler gemacht.
Auch für dich gilt: Spare nicht an Quantoren, es sollte klar sein woher die Variablen kommen.

Zitat:

es gilt: $\begin{eqnarray*} Abb(A,K) \times Abb(A,K) \Rightarrow Abb(A,K) \end{eqnarray*}$ (W)
$\begin{eqnarray*} f(a) + g(a) = (f \oplus g)(a) =: f(a) + g(a) \end{eqnarray*}$ (nach Definition)

Man kann wegen der (W)-Zeile f und g auch vertauschen (...)

Du hast hier nur die Definition von $\begin{eqnarray*} (f \oplus g)(a) \end{eqnarray*}$ hingeschrieben. Die Kommutativität ist nicht gezeigt. Die "(W)-Zeile" sagt nichts über Kommutativität sondern einfach nur dass die Verknüpfung 2 Elemente aus V nimmt und eines aus V rausgibt Augenzwinkern

Zitat:

(a) Da hab ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} k \cdot (f \oplus g) = k \cdot (Abb(A,K)) \times k \cdot (Abb(A,K)) \Rightarrow k \cdot (Abb(A,K)) = k \cdot f + k \cdot g \end{eqnarray*}$

Die linke Seite der Gleichung enthält ein Element aus V, auf der rechten Seite multiplizierst du ein Körperelement mit der Menge V und zu allem Überfluss kommt auch irgendwie ein Kreuzprodukt noch dazu. Das sind doch komplett verschiedene Typen, wie können die gleich sein?!
Dannach benutzt du einen Folgerungspfeil, aber links steht nur eine verkorkste Gleichung, was folgerst du daraus?
Rechts vom Implikationspfeil steht dann wieder derselbe Murks: Eine Gleichung der Form: Skalar*Menge = Element...

Zitat:

(b) ( k, l seien Elemente des Körpers (K). )
$\begin{eqnarray*} (k + l) \cdot f = k \cdot Abb(A,K) + l \cdot Abb(A,K) = k \cdot f + l \cdot f \end{eqnarray*}$

s. a)

Zitat:

(3)
$\begin{eqnarray*} 1 \odot f = 1 \cdot (Abb(A,K)) = Abb(A,K) = f \end{eqnarray*}$

Im Prinzip genau dasselbe nochmal: Woher kommt plötzlich Abb(A,K) und warum sollte dass gleich einem ominösem f sein?

Zum Gruppenbeweis von $\begin{eqnarray*} (V,\oplus ) \end{eqnarray*}$ :
Du bist hier eine Stufe zu tief eingestiegen. Du sollst nicht das neutrale Element für f(a) finden sondern dass für f. Dementsprechend sind auch die Verknüpfungen falsch.

Die Multiplikation ist dann völlig daneben: Es gibt auf V gar keine definierte Multiplikation!!!!!

29.09.2009, 19:28

D@Npower

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Gelten (bzw beweisen) muss (man) ja folgendes:

[attach]11316[/attach]

(Die Menge V heisst bei mir einfach A)

29.09.2009, 22:21

kiste

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Stimmt alles bis auf die Behauptung das in diesem Fall V=A ist. Hier ist nämlich V = Abb(A,K)

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