Lichtschalterknobelaufgabe mit garantiertem Spaßfaktor! |
| 28.09.2009, 22:43 | Himbeerfee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lichtschalterknobelaufgabe mit garantiertem Spaßfaktor!
,in meiner letzten Vorlesung zum Thema Wirtschaftsinformatik hat unser Professor folgendes Gedankenspiel zur Hausaufgabe aufgegeben. Es gibt 100 Lichtschalter und 100 Personen. Jeder Lichtschalter ist an eine eigene Lampe angeschlossen. Nun schaltet Person 1 alle Lampen druch drücken auf den Lichtschalter an. Person 2 drückt auf jeden zweiten Lichtschalter (jetzt brennen nur noch 50 Lampen). Person 3 betätigt jeden dritten Schalter usw. Nachdem Person 100 den letzten Lichtschalter betätigt hat, wie viele Lampen brennen? Ich habe als Lösung 
sansatz an eine vollständige Induktion gedacht, schaffe es jedoch nicht, eine erste mathematische These zu formulieren. Zudem könnte man mit einer Stichprobe von zehn Lampen und zehn Personen arbeiten. Durch ausprobieren komme ich zu dem Ergebnis, bei Behandlung der Stichprobe, von zwei leuchtenden Lampen, das wären dann bei 100 Personen/Lichschalter 20 brennende Lichter. Jedoch weiss ich nicht, wie ich es mathematisch beweisen kann.Was fällt euch dazu ein? Vielleicht ist die Aufgabe auch sehr einfach auf andere Weise zu lösen. Über Lösungen würde ich mich sehr freuen! Danke für eure Hilfe! |
||||
| 28.09.2009, 22:47 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Denk mal über Primfaktoren und ganz speziell Primzahlen nach. |
||||
| 28.09.2009, 23:47 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Licht aus! Spot an! |
||||
| 29.09.2009, 11:02 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@tigerbine & IfindU Moment mal: Von welcher Art Schalter reden wir hier? Ihr beiden scheint von Nur-Aus-Schaltern zu reden, vielleicht meint Himbeerfee aber normale Ein-Aus-Schalter (d.h. bei jedem Drücken Statuswechsel). In dem Fall geht es um Aufgabe 3 aus dieser Sammlung. |
||||
| 29.09.2009, 15:29 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, ich dachte dabei an aus/an Schalter, weil die Aufgabe sonst trivial ist (alle aus bis auf 1). Und Primzahlen fand ich als Ansatz nicht schlecht (wobei ich die Aufgabe bisher nie gerechnet hab. |
||||
| 29.09.2009, 15:34 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch wenn die Aufgabe auf den ersten Blick mit Primzahlen zu tun hat - auf die Lösung trifft das nicht zu. |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 29.09.2009, 17:35 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt, da gehen ja welche wieder an/aus im Gegensatz zum wegstreichen. |
||||
| 29.09.2009, 17:48 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde einmal alle Lampen nummerieren und dann die 100 Durchgänge wie beschrieben ablaufen lassen. Dann bräuchte man ein Verfahren, das feststellt, wie oft an jeder Lampe geschaltet wurde: Wenn die Anzahl ungerade ist, brennt die Lampe, denn im ersten Durchgang hat ja Person 1 alle Lampen aufgedreht. Für eine ungerade Anzahl gilt natürlich das Gegenteil. Den Zusammenhang mit Primzahlen sehe ich nicht.
Mit einem selbst zu schreibenden Programm ließe sich das leicht lösen, aber das ist ja nicht gefragt. Hm, naja, mal sehen. |
||||
| 29.09.2009, 17:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kann nur für meinen Fehler sprechen. Bei dem habe ich übersehen, dass der Dritte zum Beispiel Lampe 6 wieder anmacht, die der Zweite schon ausgeschaltet hatte. Bei mir durfte er nur Lampen ausschalten und das wäre dann das Sieb des Eratosthenes gewesen. @Arthur: du hast Post. 
|
||||
| 29.09.2009, 17:52 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine Idee war die Primzahlen immer aus sind, da nur beim p-ten Durchgang wieder erwischt werden und somit alle aus sind. Damit hat man schon gutes Stück der Lampen weg, aber für die nicht-primzahlen lässt sich das wohl nicht irgendwie verallgemeinern. |
||||
| 29.09.2009, 18:35 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Grundidee, die bereits im verlinkten Thread von stef123 erläutert wurde: Lampe wird von Person genau dann an- oder ausgeschaltet, falls ein Teiler von ist. Demzufolge muss man sich nur überlegen, wann eine Zahl eine ungerade Zahl von positiven Teilern hat. |
||||
| 29.09.2009, 19:01 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und Teiler treten doch doch immer paarweise auf!? 20 = 4*5 Also haben alle Zahlen eine gerade Anzahl von Teilern. Oder doch nicht? 1 hat nur einen Teiler! Welche Zahlen habe eine ungerade Anzahl von Teilern? |
||||
| 29.09.2009, 19:05 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
30 = 2*3*5 und 20 = 2*2*5 |
||||
| 29.09.2009, 19:09 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt - dem Teiler kann man den Teiler zuordnen. Allerdings ... sind diese beiden Zahlen immer einander verschieden? 
|
||||
| 29.09.2009, 19:10 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Duedi Du hast meine Antwort nicht verstanden. 30 = 1*30 =2*15 = 3*10 = 5*6 Also 4*2 = 8 Teiler |
||||
| 29.09.2009, 19:13 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, ich dachte du redest von Primfaktorzerlegung
Verzeihung |
||||
| 30.09.2009, 00:05 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, bei Quadraten nicht. Daher haben diese immer eine ungerade Anzahl an Teilern. Bsp.: 36 = 2 * 18 = 3 * 12 = 4 * 9 = 6 * 6 --> die Anzahl der Schaltvorgänge ist ungerade, weil 6 nur einmal drankommt. Und es folgt weiterhin, dass am Ende die Lampen brennen, deren Nummer eine Quadratzahl (einer natürlichen Zahl) ist. |
||||
|
|