Untervektorraum

30.09.2009, 14:40

VinSander82

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Untervektorraum

monisen leute ich habe nur noch eine Aufgabe die ich gerne mit euch besprechen würde.

Ich soll zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} M: = \left\{\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix} \mid a \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

einen Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} (\mathbb R ^{2\times 2},+,*) \end{eqnarray*}$ bildet

kiste: Habs nochmal schön gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.09.2009, 14:46

kiste

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Jetzt korrigier ich schon dein LaTeX und du editierst wieder drüber Big Laugh

Big Laugh

Wo liegt denn das Problem beim Nachweisen des Unterraumkriteriums?

30.09.2009, 15:13

VinSander82

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hups

Big Laugh

, irgendwie ist aber irgendwas mit mein formel editor, da verschwindet immer automatisch das " \"

naja, ich kann die aufgebe von grund auf nicht zeigen.. unglücklich

unglücklich

das waren zwei kriterien die ich zeigen muss, abgeschlossenheit und noch was, aber wie zeige ich schn das erste`?

30.09.2009, 15:19

kiste

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Zu wissen was man zeigen muss ich schon mal elementar wichtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu zeigen ist dass M nicht leer ist und abgeschlossen bezüglich Addition und Skalarmult.
Nicht leer ist klar.
Abgeschlossen geht auch wie immer:
Bezüglich der Addtion: Man nehme 2 beliebige Elemente $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a && 0 \\ 0 && -a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b && 0 \\ 0 && -b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ addiere die beiden und zeigt dass das Ergebnis auch in M liegt.

Bezüglich Skalarmult.:
Man nimmt ein Element $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a && 0 \\ 0 && -a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und einen Skalar k, multipliziert die beiden und zeigt dass es in M liegt.

30.09.2009, 18:08

VinSander82

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also ich zeige dann einfach nur die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und addiere dann einfach die Matrix A+B mit A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + B = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & -b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erhalten tu ich dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & -a+(-b) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.09.2009, 18:13

sergej88

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Zitat:

Original von VinSander82
Matrix A+B mit A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + B = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & -b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kannst du so nicht schreiben.

eher:
$\begin{eqnarray*} A+B = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & -b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & -a+(-b) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetz musst du zeigen / begründen, dass deine neue Matrix auch in der Menge M enthalten ist, also die Eigenschaften der Menge M erfüllt.

Analog dazu die Multiplikation mit einem Skalar.

mfg.

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30.09.2009, 18:13

VinSander82

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damit habe ich schon mal die addition gezeigt, und das reicht wirklch schon?

zur skalarmultipl.:

zu zeigen : k (A+B) = kA + kB

also k * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & -a-b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ak & 0 \\ 0 & -ak \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} bk & 0 \\ 0 & -bk \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und voila habe ich auf beiden seiten dasselbe

01.10.2009, 12:50

VinSander82

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ist das so richtig was ich da gezeigt habe??

01.10.2009, 13:00

VinSander82

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ok na gut, aber wie zeige ich das die neue Matrix in M enthalten ist?

01.10.2009, 13:07

kiste

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Zitat:

Original von VinSander82
zur skalarmultipl.:

zu zeigen : k (A+B) = kA + kB

Nein zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} kA\in M \end{eqnarray*}$ !

Und man sieht doch schon dass die Matrizen in M enthalten sind, sie haben doch die angegebene Form, einmal mit dem Skalar (a+b) und einmal mit ka

01.10.2009, 13:11

VinSander82

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Hmm na gut, dann muss ich mir das so merken, aber kann ich dann als Antwort eoinfach schreiben, dass die Matrizen in M enthalten sind, da man es sieht, dass sie die selbe Form haben?

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} k A \in M \end{eqnarray*}$

dann halt die Rechnung, wie ich oben gezeigt habe und dann mein Antwort Satz

kann ich das auch analog zu der Addition machen?

01.10.2009, 13:13

VinSander82

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ahso und wie zeige ich überhaupt , dass M nicht leer ist?? ist ja scheinbar klar zu sehen, aber wie zeige ich das formal

01.10.2009, 13:15

kiste

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Könntest du zuerst mal die Mehrfachposts vermeiden? Die Editierfunktion fühlt sich total vernachlässigt.

Analog darfst du nur etwas machen wenn du es wirklich verstanden hast, hast du das denn?
Und ja bei so einfachen Sachen darf man sagen dass man es sieht das es in M liegt, oder siehst du das nicht?

Nicht-leer dachte ich ist klar, setze beispielsweise a=0 dann sieht man das die Nullmatrix drin liegt.

01.10.2009, 13:28

VinSander82

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klar stimmt, ich werde daran denken...pardon

das habe ich leider nicht hundert prozentig.. ich merk mir meistens nur die Wege zum Ziel.

erkennen kann man es wenn z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 0 & 21 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

diesselbe Form aufzeigen, also die nullen an der stelle , wie es die Matrix vorher hatte, oder?

Ahso ok, also einfach einsetzen, und die Nullmatrix zeigen

01.10.2009, 13:28

klarsoweit

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Also für meine Begriffe hat VinSander82 nicht wirklich begründet, daß $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & -a+(-b) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Menge M liegt.

01.10.2009, 13:45

VinSander82

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wie kann ich dass dann zeigen , bitte erklären

ups shit, jetzt habe ich wieder den editor modus vergessen, sorry unglücklich

unglücklich

02.10.2009, 12:08

VinSander82

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ist hier villeicht auch jemnad , der lust hat mir dabei weiter zu helfen, thx vinni

02.10.2009, 12:12

kiste

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klarsoweit will darauf hinaus dass du hinschreiben sollst -a + (-b) = -(a+b)
Keine wirkliche Denkleistung....

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