Verteilungsfunktion - 2 Fragen

30.09.2009, 16:00

vektorraum

Verteilungsfunktion - 2 Fragen

Hi,

ich habe zwei Aufgaben:

1. Es werden 1 Liter Flaschen abgefüllt. Im Mittel enthalten 10% weniger als 0,9 l und 10% mehr als 1,05 l. Die Füllmenge X sei eine normalverteilte Zufallsgröße. Gesucht ist die Standardabweichung und die Varianz.

Nun habe ich folgendes:

Es ist also

$\begin{eqnarray*} P\left(X<0,90\right)=0,10=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{0,90-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{0,97-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P\left(X>1,05\right)=0,10=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{1,05-\mu}{\sigma}\right)=1-P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq\frac{1,05-\mu}{\sigma}\right)=1-P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{1,05-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{1,05-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

Wie komme ich nun an $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ .

2. Zu zeigen: Die Funktion f=f(x) ist eine Dichte, ferner ist die Verteilungsfunktion F anzugeben mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=4x-3x^2 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ und f(x)=0, sonst.

Meine Lösung:

(i) $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}(4x-3x^2)~dx=[2x^2-x^3]_{0}^{1}=1 \end{eqnarray*}$

und außerdem ist f offensichtlich nichtnegativ.

(ii) Für die Verteilungsfunktion erhält man

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{0}^{x}f(z)~dz=[2z^2-z^3]_0^x=2x^2-x^3 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} F=2x^2-x^3 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F=0 \end{eqnarray*}$ sonst.

Ich danke euch fürs drüberlesen Freude

30.09.2009, 16:16

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Zunächst eine Korrektur

Zitat:

Original von vektorraum
$\begin{eqnarray*} P\left(X>1,05\right)=0,10=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{1,05-\mu}{\sigma}\right)=1-P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq\frac{1,05-\mu}{\sigma}\right)=1-P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{1,05-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{1,05-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

Im letzten Schritt das 1- vergessen ... es ist also

$\begin{eqnarray*} P\left(X>1{,}05\right)= 1-\Phi\left(\frac{1{,}05-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$ .

Alles Ok bis hierhin, jetzt wende doch auf die beiden entstandenen Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{0{,}9-\mu}{\sigma}\right) &=& 0{,}1 \\ \Phi\left(\frac{1{,}05-\mu}{\sigma}\right) &=& 0{,}9 \end{eqnarray*}$

die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ (auch Quantilfunktion genannt) an - üblicherweise schreibt man in der Statistik statt $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} z_{\alpha} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{0{,}9-\mu}{\sigma} &=& z_{0{,}1} \\ \frac{1{,}05-\mu}{\sigma} &=& z_{0{,}9} \end{eqnarray*}$

Und das ist etwas umgeschrieben nichts weiter als ein einfaches 2x2-LGLS.

Zitat:

Original von vektorraum
und außerdem ist f offensichtlich nichtnegativ.

Da kann man sich streiten, ob das so "offensichtlich" ist. Ein kleiner Einzeiler als Begründung kann nicht schaden - das meine Meinung.

Zitat:

Original von vektorraum
und $\begin{eqnarray*} F=0 \end{eqnarray*}$ sonst.

Soso, also $\begin{eqnarray*} F(2)\stackrel{?}{=} 0 \end{eqnarray*}$ . verwirrt

30.09.2009, 16:26

vektorraum

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1. Danke für die Korrektur. Woher bekomme ich nun die Werte für z???

2. Stimmt, ganz offensichtlich ist das nicht. Ich habe auch was dazu aufgeschrieben Augenzwinkern

Die Fallunterscheidung bei F fällt also weg???

30.09.2009, 16:28

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Zitat:

Original von vektorraum
1. Danke für die Korrektur. Woher bekomme ich nun die Werte für z???

Noch nie mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ gerechnet? geschockt

Zitat:

Original von vektorraum
Die Fallunterscheidung bei F fällt also weg???

Es ist $\begin{eqnarray*} F(2)=1 \end{eqnarray*}$ , so wie auch $\begin{eqnarray*} F(1{,}01) = F(\pi)=F(42)=1 \end{eqnarray*}$ sind, also NICHT Null.

30.09.2009, 16:33

vektorraum

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1. Unser damaliger Dozent hat die Normalverteilung nur gestreift und demzufolge keine Übungsaufgaben gestellt.

Ich habe eine Tabelle gegeben mit den Werten von Phi von x=1,0 bis x=2,0.

2. Also erhält man:

$\begin{eqnarray*} F(x)=2x^2-x^3 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(x)=1 \end{eqnarray*}$ , sonst.

30.09.2009, 16:42

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Also jetzt willst du mich ärgern, oder? unglücklich

Es ist $\begin{eqnarray*} F(t)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(t)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Man kann doch nicht einfach so blindlings vergessen, dass eine Verteilungsfunktion monton wachsend sein muss! böse

30.09.2009, 16:51

vektorraum

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Oh je, tut mit leid. Ich wollte dich nicht ärgern, hab es wirklich nicht gewusst in dem Moment. Ich danke dir Freude

30.09.2009, 17:19

vektorraum

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Nun nochmal zur Normalverteilung:

Zur Verfügung habe ich eine Tabelle mit Werten von Phi und eine Tabelle (die in der Klausur gegeben war) mit Werten von x=1,0 bis x=2,0.

Für x=1,3 erhält man 0,9032 und das ist sicher der Wert, den man verwenden sollte.

Wie sieht es aber aus für 0,1. Das finde ich weder in der Formelsammlung noch in der Tabelle...

30.09.2009, 18:18

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Gewöhnlich ist $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ nur für nichtnegative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ tabelliert. Für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nutzt man die Symmetrie $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) = 1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$ , aus der für die Umkehrfunktion folgt:

$\begin{eqnarray*} z_{\alpha} = -z_{1-\alpha} \end{eqnarray*}$ ,

also insbesondere auch $\begin{eqnarray*} z_{0{,}1} = -z_{0{,}9} \end{eqnarray*}$ .

30.09.2009, 18:32

vektorraum

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Ah ja, vielen Dank.

Also folgt damit (wenn ich nun für x=1,3 den Wert von Phi mit 0,9032 annehme):

$\begin{eqnarray*} 0,9-\mu=-1,3\sigma \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 1,05-\mu=1,3\sigma \end{eqnarray*}$

was ja ein LGS ist.

Daher erhalte ich als Lösung: $\begin{eqnarray*} \sigma\approx0,058,~\mu\approx0,97 \end{eqnarray*}$ .

30.09.2009, 18:37

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Also ob man das mit dem Runden (eine Nachkommastelle) so streng sehen sollte - schließlich gilt exakt $\begin{eqnarray*} \mu = 0{,}975 \end{eqnarray*}$ .

01.10.2009, 12:18

vektorraum

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Aber natürlich, es kommt exakt diese Zahl raus.

Ich danke dir für deine Hilfe Wink

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