Bernoullische Ungleichung der allgemeinen Form

30.09.2009, 21:14

Tremonoros

Bernoullische Ungleichung der allgemeinen Form

Guten Abend Community,

Folgende Aufgabe ist vorhanden:

Beweisen Sie für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ die folgende Ungleichung: Sind die reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x_{1},\dots,x_{n} \end{eqnarray*}$ alle entweder positiv oder alle negativ aber $\begin{eqnarray*} > -1 \end{eqnarray*}$ , so ist
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n}(1+x_{i})>1+\sum_{i=1}^{n}x_{i} \end{eqnarray*}$

nun meine Ideen und Einwände:

Wenn die Vorraussetzung sagt für alle $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ , was ist dann mit 0? Wenn man ja 0 einsetzt, sind die beiden Seiten gleich (und nicht ungleich) [mir ist schon klar, dass es die Ungleichung auch in Form von $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ gibt]

Die normale Bernoullische Ungleichung kann ich mit vollständiger Induktion Beweisen
$\begin{eqnarray*} (n\rightarrow n+1) (1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x) \geq(1+nx)(1+x) =1+x+nx+n^2 \geq1+x+nx =1+(n+1)x \end{eqnarray*}$

Aber diese ist nur für konstante $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Wie fange ich dann mit $\begin{eqnarray*} x_{1},\dots,x_{n} \end{eqnarray*}$ an? ich denke Mal, man muss die irgendwie ersetzen, aber ich blicke da überhaupt nicht durch.

auch noch eine weitere Idee wäre ja $\begin{eqnarray*} -1<x_{1},\dots,x_{i}<0 \end{eqnarray*}$ , aber wie beweise ich dies?

Fragen über Fragen und weiss nicht mal wie anfangen, damit ich vielleicht einen Silberstreifen sehe...

liebe Grüsse
Simon

30.09.2009, 21:31

Romaxx

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Hallo,

die Null ist weder positiv noch negativ, gehört also nicht in die Betrachtung.

Die allgemeine Form zu beweisen, geht analog dem Weg, den du schon aufgezeigt hast.

Ich nehme einmal die Induktionsvoraussetzung schon gegeben an.

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1}(1+x_{i})=\prod_{i=1}^{n}(1+x_{i})(1+x_{n+1})\overset{\text{IV}}{>}... \end{eqnarray*}$

Gruß

30.09.2009, 22:18

Tremonoros

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hi, ich hab ein Problem mit solchen variablen Indizes,

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n1+x \end{eqnarray*}$ gibt ja trivialerweise $\begin{eqnarray*} (x+1)^n \end{eqnarray*}$

wie aber mit $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ ?

Analog dazu die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^nx=n(x+1) \end{eqnarray*}$

wie kann ich mir die Indizes vorstellen? (oder sollte man das besser nicht?)
z.b.: $\begin{eqnarray*} x1=0.1, x2=0.2, x3=... \end{eqnarray*}$ mit fester Schrittweite oder doch mit variabler, oder spielt überhaupt keine Rolle, da $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ aus einer Menge besteht?

edit: ahh hau mich Hammer

danke, stimmt folgendes: $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n1+x_{i}=(x_{n}+1)^n \end{eqnarray*}$ ?

30.09.2009, 22:29

Romaxx

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Zitat:

Original von Tremonoros

edit: ahh hau mich Hammer

danke, stimmt folgendes: $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n1+x_{i}=(x_{n}+1)^n \end{eqnarray*}$ ?

Nein, denn $\begin{eqnarray*} (x_{n}+1)^n=\overbrace{(x_n+1)...(x_n+1)}^\text{ n mal } \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

wie kann ich mir die Indizes vorstellen? (oder sollte man das besser nicht?) z.b.: $\begin{eqnarray*} x1=0.1, x2=0.2, x3=... \end{eqnarray*}$ mit fester Schrittweite oder doch mit variabler, oder spielt überhaupt keine Rolle, da $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ aus einer Menge besteht?

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n(1+x_i)=(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_{n-1})(1+x_n)~,~\text{ für } n\geq 4 \end{eqnarray*}$

Dabei sind die $\begin{eqnarray*} x_i~ \end{eqnarray*}$ verschieden beliebige reelle Zahlen mit $\begin{eqnarray*} x_i >0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0>x_i>-1 ~,~\quad i=1,...,n \end{eqnarray*}$ .

30.09.2009, 22:29

Ungewiss

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Zitat:

Original von Tremonoros
edit: ahh hau mich Hammer

danke, stimmt folgendes: $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n1+x_{i}=(x_{n}+1)^n \end{eqnarray*}$ ?

Nein.
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n\left(1+x_{i}\right)=(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\quad\text{für }n\geq 3 \end{eqnarray*}$

30.09.2009, 23:02

Tremonoros

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Stimmt, da hab ich nicht gut nachgedacht logisch stimmt meine Variante nicht geschockt

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n(1+x_i) \cdot (1+x_{n+1})=(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_n)(1+x_{n+1}) \mbox{Analog fuer den rechten Teil:}1+\sum^{n+1}_{i=1}{x_i}=1+\sum^n_{i=1}{x_i}+x_{n+1}=1+x_1+x_2+\dots +x_n+x_{n+1} \end{eqnarray*}$

aber somit ist ja noch nicht bewiesen, dass es auch für die Nachfolger von n auch geht, oder hab ich was übersehen?

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n(1+x_i)=(1+x_1)(1+x_2)\dots(x_n) \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1}(1+x_i)=\prod_{i=1}^n(1+x_i)\cdot(1+x_{n+1})=(1+x_1)\cdot\dots\cdot(1+x_n)(1+x_{n+1}) \end{eqnarray*}$

wenn dem so wäre, bin ich dann wirklich fertig mit dem Beweis??

30.09.2009, 23:05

Ungewiss

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Warum solltest du fertig sein?
Du hast das Produkt und die Summe über die n+1 Faktoren bzw. Summanden nur in Pünktchenschreibweise umgewandelt. Romaxx hat dir im zweiten Beitrag den Ansatz zum Induktionschritt hingeschrieben, den solltest du weiterverfolgen. Von Bedeutung wird sein, dass die x_i alle das gleiche Vorzeichen haben.

30.09.2009, 23:23

Tremonoros

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du meinst also, ich soll die Pünktchenschreibweise also in eine Gausschen Summenformel umändern à la $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ (zumindest für die Summe)?

wenn ja, wie stelle ich dann das mit den Indizes an? Ich sehe da einfachen keinen Weg.

und für die Faktoren fällt mir nur gerade $\begin{eqnarray*} n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\dots\cdot(n-1)\cdot n \end{eqnarray*}$ aber das ist ja ebenfalls ohne Indizes....diese doofen Indizes, ohne die wärs ja so einfach >_<

30.09.2009, 23:36

Romaxx

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Nein.

Ich möchte, dass du einfach die Induktionsvoraussetzung (IV) $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n}(1+x_{i})>1+\sum_{i=1}^n x_i \end{eqnarray*}$ verwendest, um

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1}(1+x_{i})=\prod_{i=1}^{n}(1+x_{i})(1+x_{n+1})\overset{\text{IV}}{>}... \end{eqnarray*}$

abzuschätzen.

Danach ist das noch ein bisschen Umformerei und eine weitere Abschätzung.

Edit: Was du bei dieser Induktion zeigen musst, ist ja $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1}(1+x_{i})>1+\sum_{i=1}^{n+1} x_i \end{eqnarray*}$ .

Gruß

30.09.2009, 23:49

Tremonoros

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weisst du, mir ist schon klar was ich zeigen muss, und das mit n -> n+1. Das Problem ist nur, dass ich mir das selber aneignen musste und ich noch nie eine Ungleichung in dieser Form beweisen konnte.

willst du mir also sagen, dass ich

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n}(1+x_{i}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1+\sum_{i=1}^nx_i \end{eqnarray*}$ ersetzen soll?

beo so Aufgaben wie $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ war mir klar, dass ich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^nk+n+1 \end{eqnarray*}$ dann so schreiben konnte $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2}+n+1 \end{eqnarray*}$ (und der Rest ist einfach noch ein bisschen rumbeigerei)

aber wie sieht dass, dann mit einer Ungleichung aus?

Was mir durch logisches überlegen schon gebracht hat, ist, da ja die x_i entweder positiv oder nur negativ sind, dass das Produkt immer im positiven Bereich sein wird, und die Summe bei negativen x_i immer kleiner wird und unter 0, und bei positiven nie das Produkt erreichen wird...aber ich muss es ja beweisen, dass es so ist

01.10.2009, 00:02

Romaxx

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Okay, ich zeige dir einmal etwas ausführlicher, wie das geht:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1}(1+x_{i})=\prod_{i=1}^{n}(1+x_{i})(1+x_{n+1})\overset{\text{IV}}{>}(1+\sum_{i=1}^{n} x_i)(1+x_{n+1})=1+\sum_{i=1}^{n+1} x_i+(\sum_{i=1}^{n} x_i)(x_{n+1})>1+\sum_{i=1}^{n+1} x_i \end{eqnarray*}$

Die Begründung, warum ich die letzte Abschätzung so durchführen kann, hast du in deinem Fließtext zum Schluss schon genannt.

Edit: Wenn du nun Anfang und Ende betrachtest und die einzelnen Operationszeichen in dieser Ungleichungskette, so ist das gerade der Induktionsschritt.

Gruß

01.10.2009, 00:08

Tremonoros

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genau der Schritt hab ich immer gedacht, den darf ich nicht machen, weils ja eine Ungleichung ist...linke Seite ist nicht gleich der Rechten...und trotzdem darf ich dass dann ersetzen? das ist doch iwie nicht richtig...bzw ungenau

Danke Romaxx, den Rest sollte ich nun eigentlich schaffen...auch wenns mir noch ein bisschen schleierhaft ist..

01.10.2009, 00:10

Romaxx

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Solange es eine wahre Aussage ist, sind Ungleichungen erlaubt.

Nach der Induktionsvoraussetzung darfst du ja genau diese Ungleichung annehmen und dementsprechend auch damit arbeiten und abschätzen.

01.10.2009, 00:19

Tremonoros

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Also muss nach dem Eunsetzen die linke Seite immer noch größer sein, da ich ja was kleineres eingesetzt habe.

Ich weiß jetzt wieso der Prof immer gesagt hat "ist das nicht befriedigend" nachdem er einen Beweis durchgeführt hat

Vielen lieben Dank an euch 2

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