Permutation

30.09.2009, 21:48

noobt

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Permutation

Hallo

http://img16.imageshack.us/img16/8561/aufgabe11.jpg

also,

zu a):

$\begin{eqnarray*} S_{2} \end{eqnarray*}$ hat die folgenden Elemente $\begin{eqnarray*} S_{2}={id,(12)} \end{eqnarray*}$

Da ist das Sigma -1, da $\begin{eqnarray*} \prod_{i,j} \frac{~\sigma(j) - ~\sigma(i)}{j - i} = \frac {1-2}{2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ hat die folgenden Elemente $\begin{eqnarray*} S_{3}={id,(12),(13),(23),(123),(132)} \end{eqnarray*}$

jetzt zu meiner Frage:

Betrachtet man die Folge (12), so ist das Sigma doch genau das selbe wie das Sigma von $\begin{eqnarray*} S_{2} \end{eqnarray*}$ oder? denn das Sigma wird ja von dieser Folge bestimmt und nicht von (123)

weiter bei (13)

$\begin{eqnarray*} \prod_{i,j} \frac{~\sigma(j) - ~\sigma(i)}{j - i} = \frac {1-3}{3-1} \end{eqnarray*}$

ist das richtig??? denn sigma von 3 ist in dieser folge ja 1 und von 1--->3

bzw. bei

$\begin{eqnarray*} \prod_{i,j} \frac{~\sigma(j) - ~\sigma(i)}{j - i} = \frac {2-3}{3-2} \end{eqnarray*}$

und das ergibt auch -1

bin da jetzt etwas verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

30.09.2009, 22:58

kiste

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RE: Permutation

Zitat:

Original von noobt
zu a):

$\begin{eqnarray*} S_{2} \end{eqnarray*}$ hat die folgenden Elemente $\begin{eqnarray*} S_{2}={id,(12)} \end{eqnarray*}$

Da ist das Sigma -1, da $\begin{eqnarray*} \prod_{i,j} \frac{~\sigma(j) - ~\sigma(i)}{j - i} = \frac {1-2}{2-1} \end{eqnarray*}$

Das ist das Signum(nicht Sigma) von (12). Was ist das von der identität?

Zitat:

jetzt zu meiner Frage:

Betrachtet man die Folge (12), so ist das Sigma doch genau das selbe wie das Sigma von $\begin{eqnarray*} S_{2} \end{eqnarray*}$ oder? denn das Sigma wird ja von dieser Folge bestimmt und nicht von (123)

Ja! Beachte aber dass (1 2) keine Folge ist, sondern man nennt das einen Zykel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

weiter bei (13)

$\begin{eqnarray*} \prod_{i,j} \frac{~\sigma(j) - ~\sigma(i)}{j - i} = \frac {1-3}{3-1} \end{eqnarray*}$

ist das richtig??? denn sigma von 3 ist in dieser folge ja 1 und von 1--->3

Es scheint mir fast du hast nur (i,j)=(1,3) betrachtet und (2,3) und (1,2) vergessen?

30.09.2009, 23:09

noobt

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thx für die schnelle antwort...

ich hab das signum auch für (2,3) und für (1,2) ausgerechnet...für (1,2) ist es ja das selbe wie für S2
und (2,3) wäre es dann ja

$\begin{eqnarray*} \prod_{i,J} \frac { ~\sigma(3) - ~\sigma(2)} {3 - 2} = \frac { 2 - 3} {3 - 2} = -1 \end{eqnarray*}$

30.09.2009, 23:13

kiste

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Nein ich meinte nicht das Signum von (2,3) und (1,2) sondern dass im Produkt die Faktoren davon fehlen.

So ist das Signum von (1 3) in S_3 beispielsweise: $\begin{eqnarray*} \frac{2-1}{2-1}\cdot \frac{1-3}{3-1}\cdot \frac{3-2}{3-2} \end{eqnarray*}$ . Ich weiß nicht ob dir das klar ist weil du die Faktoren(die ja 1 sind) nicht aufgeschrieben hast.

Aber ja: Es gilt die tolle Verallgemeinerung: Das Signum eines 2-Zykels(nennt man auch Transposition) ist immer -1

30.09.2009, 23:21

noobt

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aber es gilt doch $\begin{eqnarray*} ~\sigma(j) < ~\sigma(i) \end{eqnarray*}$ , da können die faktoren ja garnicht 1 sein, sondern nur -1 oder hab ich da was falsch verstanden

$\begin{eqnarray*} i < j \end{eqnarray*}$

30.09.2009, 23:26

kiste

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Warum gilt das?
Zunächst einmal multiplizieren wir über alle Paare (i,j) mit $\begin{eqnarray*} 1\leq i<j\leq n \end{eqnarray*}$ .
Du hast Recht: Nur falls für ein Paar $\begin{eqnarray*} \sigma(j) < \sigma(i) \end{eqnarray*}$ gilt wird mit -1 multipliziert, im anderen Fall wird eben mit 1 multipliziert.
(Diese Beobachtung ist übrigens ein Teil der "nicht offensichtlichen Äquivalenz")

Da ich mir nicht sicher bin ob du die Formel überhaupt verstanden hast zeige einmal deinen Rechenweg für (1 3 2)

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30.09.2009, 23:43

noobt

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Zitat:

Warum gilt das?

des ist doch ein teil der aufgabe...schau

http://img16.imageshack.us/img16/8561/aufgabe11.jpg

da würde man Das signum für (13) und (12) ausrechnen, da für (i,j) (3,2) i>j und das ja nicht sein darf

$\begin{eqnarray*} \prod_{i,j} \frac { ~\sigma(3) - ~\sigma(1)} {3 - 1} = \frac {1-3}{3-1} =-1 \end{eqnarray*}$

für (12)

$\begin{eqnarray*} \prod_{i,j} \frac { ~\sigma(2) - ~\sigma(1)} {2 - 1} = \frac {1-2}{2-1} =-1 \end{eqnarray*}$

30.09.2009, 23:52

kiste

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Nein $\begin{eqnarray*} \sigma(j)< \sigma(i) \end{eqnarray*}$ steht in der alternativen Definition und nicht bei der Produktdefinition.

Dein nachfolgender Satz macht keinen grammatikalischen oder logischen Sinn für mich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i,j} \frac { ~\sigma(2) - ~\sigma(1)} {2 - 1} = \frac {1-2}{2-1} =-1 \end{eqnarray*}$

zeigt dann dass du die Produktschreibweise vllt. noch nicht ganz intus hast?
Du sollst für $\begin{eqnarray*} \sigma = (1 2) \end{eqnarray*}$ das Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{\stackrel{i,j}{1\leq i<j\leq n}} \frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j-i} \end{eqnarray*}$ ausrechnen.(In diesem Fall mal für S_3, also n=3). Die Zahlen für i,j setzt du noch nicht ein wenn dort noch ein Produktzeichen steht.

Zum genauen Verständnis was du machst würde ich immer noch gerne deine Rechnung für einen 3-Zykel, am liebsten (1 3 2) sehen

30.09.2009, 23:57

noobt

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den 3-Zykel habe ich eben da gelöst aber anscheinend habe ich es falsch

verwirrt

....
jetzt bin ich noch mehr verwirrt

muss ich für jedes element aus S_3 Das Signum ausrechnen?? weil ich gedacht hab, dass ich nur für (12) (13) und (23) ausrechnen muss

01.10.2009, 00:02

kiste

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Nein ich weiß nicht was du gerade gemacht hast, aber jedenfalls war es nicht das Ausrechnen des Signums von (1 3 2)

Benutze einmal stur die Formel die ich auch nochmal abgeschrieben habe. Welche Paare (i,j) musst du im Produkt betrachten? Welcher Faktor ergibt sich für welches Paar? Und letztendlich damit auch: Was ist das Signum von (1 3 2)?

Und ja du musst das Signum für alle Elemente aus S_3 berechnen, ist immerhin die Aufgabe

01.10.2009, 00:20

noobt

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$\begin{eqnarray*} \prod_{i,j _{1<=i<j<=n}} \frac {~\sigma(j) - ~\sigma(i) }{j - i} \end{eqnarray*}$

n = 3

i = 1

j = 3 oder 2

also

$\begin{eqnarray*} \prod_{i,j} \frac {~\sigma(3) - ~\sigma(1) }{3 - 1} = \frac { 1 - 2}{3 - 1} = \frac {-1}{2} * \frac {~\sigma(2) - ~\sigma(1) }{2 - 1} =\frac { 3 - 2}{2 - 1}= 1 = \frac {-1}{2} \end{eqnarray*}$

richtig?? oder kann i auch 2 sein und j 3?

01.10.2009, 00:25

kiste

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Dafür dass das Signum nur -1 oder 1 sein kann ist -1/2 ziemlich falsch.

Dein Problem liegt eindeutig in der Produktdarstellung, die du falsch auflöst. Es ist:
$\begin{eqnarray*} \prod_{\stackrel{i,j}{1\leq i<j\leq n}} \frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j-i} = \frac{\sigma(2)-\sigma(1)}{2-1}\frac{\sigma(3)-\sigma(1)}{3-1}\frac{\sigma(3)-\sigma(2)}{3-2} \end{eqnarray*}$ denn die möglichen Paare (i,j) sind genau (1,2),(2,3) und (1,3).

Jetzt werte das Produkt einmal für $\begin{eqnarray*} \sigma = (1 3 2) \end{eqnarray*}$ und einmal für $\begin{eqnarray*} \sigma = ( 1 2 3) \end{eqnarray*}$ aus

01.10.2009, 00:32

noobt

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i...also (123) hat ja 3 fehlstände...(12) (13) und (23) und (132) hat 2 fehlstände...(13) und (12)

stimmts?? dann sollte für (123) -1 und für (132) 1 rauskommen...

01.10.2009, 00:36

kiste

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Nein das stimmt nicht. Du hast den Begriff des Fehlstands auch noch nicht verstanden, aber kümmern wir uns zuerst einmal um das Produkt. Werte das doch bitte einmal aus.

Ps: Das Signum ist dasselbe wenn der Zykeltyp gleich ist. So haben z.B. 2-Zykel immer dasselbe Signum

01.10.2009, 00:50

noob

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wenn es nicht so ist, dann ist mein problem folgendes:

wie soll ich aus (123) mit dieser Formel was ausrechnen? ich hab doch nur i und j und hier sind es 3 zahlen...kann ich den Zykel auch als (12) (13) schreiben?? dann wäre (123) = +1 und das selbe würde auch für (132) gelten...(13)(12)...das sind 2 Transpositionen, also auch +1

ok und dann wäre das signum ja auch dasselbe weil das die gleichen zykeltypen sind, stimmt??

mein problem ist einfach nur wie ich den 3-zykel aufteilen kann auf 2...sofern ich des jetzt wieder falsch gemacht hab

01.10.2009, 00:54

kiste

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Du hast die Zykelschreibweise wohl auch noch nicht verstanden
(1 2 3) beschreibt die Abbildung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sigma(1) = 2, \sigma(2) = 3, \sigma(3)=1 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt ist es aber wirklich nur noch einsetzen in die Formel

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