Grenzwert der Sekantensteigung

01.10.2009, 12:16

oink_sproink

Grenzwert der Sekantensteigung

Guten Tag, hier bin ich noch einmal!

Da wir morgen eine Klausur schreiben, habe ich folgende Funktion mit Hilfe des Grenzwert der Sekantensteigung abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2*\sqrt {x+1}}{x} \end{eqnarray*}$

Ich habe das auch soweit hinbekommen, allerdings komme ich bei einer Vereinfachung der Lösung nicht weiter!

Dort steht

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4*(-x^2-2x)}{x*x*(2* \sqrt{x+1}*x+ 2* \sqrt{x+1}*x } \end{eqnarray*}$

Und am Ende soll rauskommen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-(x+2)}{x^2*\sqrt{x+1}} \end{eqnarray*}$

Das bekomme ich bei Gottes Hilfe einfach nicht gebacken!

Bei mir steht da am Ende halt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-4x^2-8x}{x^2(2* \sqrt{x+1}*x+ 2* \sqrt{x+1}*x } \end{eqnarray*}$

Man kann da sicherlich noch was wegkürzen, dummerweise weiß ich nicht was
Hammer

Kann mir da jemand helfen?? Wäre sehr gütig!!

MfG oink_sproink

01.10.2009, 12:53

klarsoweit

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RE: Grenzwert der Sekantensteigung

Zitat:

Original von oink_sproink
habe ich folgende Funktion mit Hilfe des Grenzwert der Sekantensteigung abgeleitet:

Das kann ich mir irgendwie nicht vorstellen. Eher hast du irgendwelche Ableitungsregeln verwendet.

Zitat:

Original von oink_sproink
Und am Ende soll rauskommen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-(x+2)}{x^2*\sqrt{x+1}} \end{eqnarray*}$

Bei mir kommt was anderes raus.

Zitat:

Original von oink_sproink
Bei mir steht da am Ende halt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-4x^2-8x}{x^2(2* \sqrt{x+1}*x+ 2* \sqrt{x+1}*x } \end{eqnarray*}$

Und wie bist du dahin gekommen?

01.10.2009, 12:54

mYthos

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Zitat:

Original von oink_sproink
...
Wäre sehr gütig!!
...

Sicher, sicher!

Im Nenner sind die beiden Summanden gleich, also fasse sie zusammen! Dort steht dann

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot 4x \sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$

Dann durch 4 und x (im Zähler ausklammern!) noch kürzen, fertig!

Hinweis: klarsoweit irrt, das angegebene Ergebnis ist richtig

mY+

01.10.2009, 13:25

oink_sproink

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Ihr glaubt mir nicht das ich das ganze über den Grenzwert der Sekantensteigung ausgerechnet habe? Dann präsentiere ich euch jetzt meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2\sqrt{x+1}}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) =\frac{ \frac{2\sqrt{x+1}}{x} - \frac{2\sqrt{(x-a)+1}}{x-a}}{a} \end{eqnarray*}$

Den Bruch im Zähler entfernt:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{2\sqrt{x+1}*(x-a)-2\sqrt{(x-a)+1}*x}{a*x(x-a)} \end{eqnarray*}$

Zum Binom ergänzt:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{2\sqrt{x+1}*(x-a)-2\sqrt{(x-a)+1}*x}{a*x(x-a)}*2\sqrt{x+1}*(x-a)+2\sqrt{(x-a)+1}*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{4(x+1)*(x-a)^2-4[(x-a)+1]*x^2}{a*x*(x-a)*(2\sqrt{x+1}*(x-a)+2\sqrt{(x-a)+1}*x)} \end{eqnarray*}$

Die Vereinfachung des Zählers spar ich mir nun mal und mache hier weiter:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4(-ax^2+a^2x-2ax+a^2)}{N} \end{eqnarray*}$

a ausgeklammert und gekürzt ergibt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{4(-x^2+ax-2x+a}{x*(x-a)*(2\sqrt{x+1}*(x-a)+2\sqrt{(x-a)+1}*x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} f'(x)=\frac{-4x^2-8x}{x^2(2\sqrt{x+1}*x+2\sqrt{x+1}*x)} \end{eqnarray*}$

So bin ich dahin gekommen. Ich hoffe ihr glaubt mir nun, dass ich das selbst gemacht hab Augenzwinkern

Ich garantiere jetzt aber nicht dafür, dass ich mich nicht vertippt habe, war doch schon eine ganz schöne Schreibarbeit!

01.10.2009, 13:30

mYthos

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Ich hab' das auch nicht behauptet, das war mein Vorposter, ich war eine Minute zu spät dran. Ich hab' auch nicht gesagt, dass dein Ergebnis falsch ist. Hast du meinen Beitrag hinsichtlich des Vereinfachens eigentlich auch gelesen?

mY+

01.10.2009, 13:35

oink_sproink

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Ja natürlich, tut mir Leid das ich vergessen habe mich zu bedanken, mit der Lösung habe ich es dann auch nachvollziehen können, danke nochmal hierfür! Gott

Weiterhin wollte ich auch Ihrem Vorredner beweisen, dass ich es selbst gemacht habe, da wir uns dummerweise in unserem LK mit Herleitungen beschäftigt haben und ich es deshalb können muss -.-

MfG

01.10.2009, 13:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von oink_sproink
$\begin{eqnarray*} f'(x) =\frac{ \frac{2\sqrt{x+1}}{x} - \frac{2\sqrt{(x-a)+1}}{x-a}}{a} \end{eqnarray*}$

Das geht schon mal gar nicht. Allenfalls:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim_{a \to 0}~\frac{ \frac{2\sqrt{x+1}}{x} - \frac{2\sqrt{(x-a)+1}}{x-a}}{a} \end{eqnarray*}$

01.10.2009, 13:36

Bakatan

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Wenigstens hast du das richtige gerechnet und das falsche aufgeschrieben und nicht andersrum.
Die Schreibweise! die Schreibweise!!!
Klammern setzen. Und f' ist nicht gleich dem Term bzw nicht der Grenzwert von f' ist irgendwas sondern f' ist der Grenzwert von dem Term.
Aber sonst ganz nette Rechnung Augenzwinkern

01.10.2009, 13:39

oink_sproink

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Mh ja das stimmt.. Mein Fehler, dass gestehe ich ein. Zu meiner Verteidigung muss ich aber sagen, dass ich ein sehr schreibfauler Schüler bin Big Laugh

Ich werde aber Eure Ratschläge in der Klausur morgen beherzigen und Limes hinschreiben!

Wäre es denn richtig gewesen, hätte ich anstatt $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ besser $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ für die Steigung geschrieben? smile

MfG

01.10.2009, 13:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von mYthos
Hinweis: klarsoweit irrt, das angegebene Ergebnis ist richtig

mY+

OK, habe meinen Fehler gefunden. Man sollte auch bei scheinbar einfachen Funktionen Papier und Bleistift nehmen. Hammer

Zitat:

Original von oink_sproink
Wäre es denn richtig gewesen, hätte ich anstatt $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ besser $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ für die Steigung geschrieben? smile

Nein. Entscheidend ist, daß da ein Grenzwert steht.

01.10.2009, 13:44

oink_sproink

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Ok, dann weiß ich Bescheid. Danke Euch, Ihr seid eine prima Truppe! Und meinen allerhöchsten Respekt für Eure mathematischen Leistungen, ich verzweifel ja schon beim ausklammern Big Laugh

Gruß

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